Как определить какая дробь больше

Как определить какая дробь больше

Содержание

Сравнение дробей

Сравнение дробей

Равные дроби

Две дроби считаются равным, если величины, выражаемые этими числами при одной и той же единице измерения, равны между собой.

Например. Дроби и равны, так как две длины, из которых одна составляет м, а вторая — м, равны (рис 1).

Принципы сравнения дробей

Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та, числитель которой больше.

Например.   , так как

Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, знаменатель которой меньше.

Например.   , так как .

Любая правильная дробь меньше 1.

Например.  

Неправильная дробь, числитель которой равен знаменателю, равна 1.

Например.  

Неправильная дробь, у которой числитель больше знаменателя, больше 1.

Например.  

Любая правильная дробь меньше произвольной неправильной дроби.

Например.  

В общем случае дроби по величине сравниваются следующим образом. Умножают числитель первой дроби на знаменатель второй, а знаменатель первой на числитель второй. И сравнивают полученные произведения. Если первое из этих произведений больше/равно/меньше второго, то соответственно и первая дробь больше/равно/меньше второй.

Например. , так как

Сравнение дробей с разными знаменателями

Чтобы сравнить дроби с разными знаменателями, их нужно вначале привести к одинаковому (одному) знаменателю. Для этого приводят либо к общему знаменателю, либо числитель и знаменатель первой дроби домножают на знаменатель второй и наоборот, числитель и знаменатель второй дроби на знаменатель первой. И далее дроби сравнивать как дроби с одинаковым знаменателем (описано выше).

Пример

Задание. Сравнить дроби    и   

Решение. Приведем дроби к общему знаменателю, для этого числитель и знаменатель первой дроби домножим на 7 (знаменатель второй дроби); а числитель и знаменатель второй дроби — на 4, будем иметь:

  и  

  и  

Первая дробь больше: , так как ее числитель

Ответ.  

Читать следующую тему: основное свойство дроби.

Числа, действия с числами

Сравнение дробей: правила, примеры, решения.


В центре внимания данной статьи стоит сравнение дробей. Мы уже знаем про равные и неравные дроби. Две неравные дроби подлежат дальнейшему сравнению для выяснения, какая дробь больше, а какая дробь меньше. Для сравнения двух дробей существует правило сравнения дробей, которое мы сформулируем ниже, а также разберем примеры применения этого правила при сравнении дробей с одинаковыми и разными знаменателями. В заключение покажем, как сравнить дроби с одинаковыми числителями, не приводя их к общему знаменателю, а также рассмотрим, как сравнить обыкновенную дробь с натуральным числом.


Сравнение дробей с одинаковыми знаменателями

Сравнение дробей с одинаковыми знаменателями по сути является сравнением количества одинаковых долей. К примеру, обыкновенная дробь 3/7 определяет 3 доли 1/7, а дробь 8/7 соответствует 8 долям 1/7, поэтому сравнение дробей с одинаковыми знаменателями 3/7 и 8/7 сводится к сравнению чисел 3 и 8, то есть, к сравнению числителей.

Из этих соображений вытекает правило сравнения дробей с одинаковыми знаменателями: из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та дробь, числитель которой больше, и меньше та дробь, числитель которой меньше.

Озвученное правило объясняет, как сравнить дроби с одинаковыми знаменателями. Рассмотрим пример применения правила сравнения дробей с одинаковыми знаменателями.

Какая дробь больше: 65/126 или 87/126?

Знаменатели сравниваемых обыкновенных дробей равны, а числитель 87 дроби 87/126 больше числителя 65 дроби 65/126 (при необходимости смотрите сравнение натуральных чисел). Поэтому, согласно правилу сравнения дробей с одинаковыми знаменателями, дробь 87/126 больше дроби 65/126.

.

К началу страницы

Сравнение дробей с разными знаменателями


Сравнение дробей с разными знаменателями можно свести к сравнению дробей с одинаковыми знаменателями. Для этого лишь нужно сравниваемые обыкновенные дроби привести к общему знаменателю.

Итак, чтобы сравнить две дроби с разными знаменателями, нужно

  • привести дроби к общему знаменателю;
  • сравнить полученные дроби с одинаковыми знаменателями.

Разберем решение примера.

Сравните дробь 5/12 с дробью 9/16.

Сначала приведем данные дроби с разными знаменателями к общему знаменателю (смотрите правило и примеры приведения дробей к общему знаменателю). В качестве общего знаменателя возьмем наименьший общий знаменатель, равный НОК(12, 16)=48. Тогда дополнительным множителем дроби 5/12 будет число 48:12=4, а дополнительным множителем дроби 9/16 будет число 48:16=3. Получаем и .

Сравнив полученные дроби, имеем . Следовательно, дробь 5/12 меньше, чем дробь 9/16.

Сравнение дробей. Как сравнивать дроби с разными знаменателями?

На этом сравнение дробей с разными знаменателями завершено.

.

Получим еще один способ сравнения дробей с разными знаменателями, который позволит выполнять сравнение дробей без их приведения к общему знаменателю и всех сложностей, связанных с этим процессом.

Для сравнения дробей a/b и c/d, их можно привести к общему знаменателю b·d, равному произведению знаменателей сравниваемых дробей. В этом случае дополнительными множителями дробей a/b и c/d являются числа d и b соответственно, а исходные дроби приводятся к дробям и с общим знаменателем b·d. Вспомнив правило сравнения дробей с одинаковыми знаменателями, заключаем, что сравнение исходных дробей a/b и c/d свелось к сравнению произведений a·d и c·b.

Отсюда вытекает следующее правило сравнения дробей с разными знаменателями: если a·d>b·c, то , а если a·d<b·c, то .

Рассмотрим сравнение дробей с разными знаменателями этим способом.

Сравните обыкновенные дроби 5/18 и 23/86.

В этом примере a=5, b=18, c=23 и d=86. Вычислим произведения a·d и b·c. Имеем a·d=5·86=430 и b·c=18·23=414. Так как 430>414, то дробь 5/18 больше, чем дробь 23/86.

.

К началу страницы

Сравнение дробей с одинаковыми числителями

Дроби с одинаковыми числителями и разными знаменателями, несомненно, можно сравнивать с помощью правил, разобранных в предыдущем пункте. Однако, результат сравнения таких дробей легко получить, сравнив знаменатели этих дробей.

Существует такое правило сравнения дробей с одинаковыми числителями: из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой меньше знаменатель, и меньше та дробь, знаменатель которой больше.

Рассмотрим решение примера.

Сравните дроби 54/19 и 54/31.

Так как числители сравниваемых дробей равны, а знаменатель 19 дроби 54/19 меньше знаменателя 31 дроби 54/31, то 54/19 больше 54/31.

.

В заключение этого пункта приведем пример, хорошо иллюстрирующий основную суть озвученного правила сравнения дробей с одинаковыми числителями. Пусть перед нами две тарелки, на одной из них 1/2 пирога, а на другой 1/16 этого же пирога. Понятно, что скушав половину пирога, мы будем куда больше сыты, чем съев 1/16 его часть.

К началу страницы

Сравнение дроби с натуральным числом

Сравнение обыкновенной дроби с натуральным числом сводится к сравнению двух дробей, если число записать в виде дроби со знаменателем 1 (смотрите натуральное число как дробь со знаменателем 1). Рассмотрим решение примера.

Сравните дробь 63/8 и число 9.

Число 9 можно представить как дробь 9/1, этим сравнение дроби 63/8 и числа 9 сводится к сравнению дробей 63/8 и 9/1. После их приведения к общему знаменателю 8, получаем дроби с одинаковым знаменателем 63/8 и 72/8. Так как 63<72, то , следовательно, .

.

Профиль автора статьи в Google+

К началу страницы

  • Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика: учебник для 5 кл. общеобразовательных учреждений.
  • Виленкин Н.Я. и др. Математика. 6 класс: учебник для общеобразовательных учреждений.

Сравнение дробей

Равные дроби

Две дроби считаются равным, если величины, выражаемые этими числами при одной и той же единице измерения, равны между собой.

Например. Дроби и равны, так как две длины, из которых одна составляет м, а вторая — м, равны (рис 1).

Принципы сравнения дробей

Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та, числитель которой больше.

Например.   , так как

Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, знаменатель которой меньше.

Например.   , так как .

Любая правильная дробь меньше 1.

Например.  

Неправильная дробь, числитель которой равен знаменателю, равна 1.

Например.  

Неправильная дробь, у которой числитель больше знаменателя, больше 1.

Например.  

Любая правильная дробь меньше произвольной неправильной дроби.

Например.  

В общем случае дроби по величине сравниваются следующим образом.

Сравнение дробей: правила, примеры, решения.

Умножают числитель первой дроби на знаменатель второй, а знаменатель первой на числитель второй. И сравнивают полученные произведения. Если первое из этих произведений больше/равно/меньше второго, то соответственно и первая дробь больше/равно/меньше второй.

Например. , так как

Сравнение дробей с разными знаменателями

Чтобы сравнить дроби с разными знаменателями, их нужно вначале привести к одинаковому (одному) знаменателю. Для этого приводят либо к общему знаменателю, либо числитель и знаменатель первой дроби домножают на знаменатель второй и наоборот, числитель и знаменатель второй дроби на знаменатель первой. И далее дроби сравнивать как дроби с одинаковым знаменателем (описано выше).

Пример

Задание. Сравнить дроби    и   

Решение. Приведем дроби к общему знаменателю, для этого числитель и знаменатель первой дроби домножим на 7 (знаменатель второй дроби); а числитель и знаменатель второй дроби — на 4, будем иметь:

  и  

  и  

Первая дробь больше: , так как ее числитель

Ответ.  

Читать следующую тему: основное свойство дроби.

Сравнение дробей

Равные дроби

Две дроби считаются равным, если величины, выражаемые этими числами при одной и той же единице измерения, равны между собой.

Например. Дроби и равны, так как две длины, из которых одна составляет м, а вторая — м, равны (рис 1).

Принципы сравнения дробей

Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та, числитель которой больше.

Например.   , так как

Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, знаменатель которой меньше.

Например.   , так как .

Любая правильная дробь меньше 1.

Например.  

Неправильная дробь, числитель которой равен знаменателю, равна 1.

Например.  

Неправильная дробь, у которой числитель больше знаменателя, больше 1.

Например.  

Любая правильная дробь меньше произвольной неправильной дроби.

Например.  

В общем случае дроби по величине сравниваются следующим образом. Умножают числитель первой дроби на знаменатель второй, а знаменатель первой на числитель второй. И сравнивают полученные произведения.

Если первое из этих произведений больше/равно/меньше второго, то соответственно и первая дробь больше/равно/меньше второй.

Например. , так как

Сравнение дробей с разными знаменателями

Чтобы сравнить дроби с разными знаменателями, их нужно вначале привести к одинаковому (одному) знаменателю. Для этого приводят либо к общему знаменателю, либо числитель и знаменатель первой дроби домножают на знаменатель второй и наоборот, числитель и знаменатель второй дроби на знаменатель первой. И далее дроби сравнивать как дроби с одинаковым знаменателем (описано выше).

Пример

Задание. Сравнить дроби    и   

Решение. Приведем дроби к общему знаменателю, для этого числитель и знаменатель первой дроби домножим на 7 (знаменатель второй дроби); а числитель и знаменатель второй дроби — на 4, будем иметь:

  и  

  и  

Первая дробь больше: , так как ее числитель

Ответ.  

Читать следующую тему: основное свойство дроби.

Числа, действия с числами

Сравнение дробей: правила, примеры, решения.


В центре внимания данной статьи стоит сравнение дробей. Мы уже знаем про равные и неравные дроби. Две неравные дроби подлежат дальнейшему сравнению для выяснения, какая дробь больше, а какая дробь меньше. Для сравнения двух дробей существует правило сравнения дробей, которое мы сформулируем ниже, а также разберем примеры применения этого правила при сравнении дробей с одинаковыми и разными знаменателями. В заключение покажем, как сравнить дроби с одинаковыми числителями, не приводя их к общему знаменателю, а также рассмотрим, как сравнить обыкновенную дробь с натуральным числом.


Сравнение дробей с одинаковыми знаменателями

Сравнение дробей с одинаковыми знаменателями по сути является сравнением количества одинаковых долей. К примеру, обыкновенная дробь 3/7 определяет 3 доли 1/7, а дробь 8/7 соответствует 8 долям 1/7, поэтому сравнение дробей с одинаковыми знаменателями 3/7 и 8/7 сводится к сравнению чисел 3 и 8, то есть, к сравнению числителей.

Из этих соображений вытекает правило сравнения дробей с одинаковыми знаменателями: из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та дробь, числитель которой больше, и меньше та дробь, числитель которой меньше.

Озвученное правило объясняет, как сравнить дроби с одинаковыми знаменателями. Рассмотрим пример применения правила сравнения дробей с одинаковыми знаменателями.

Какая дробь больше: 65/126 или 87/126?

Знаменатели сравниваемых обыкновенных дробей равны, а числитель 87 дроби 87/126 больше числителя 65 дроби 65/126 (при необходимости смотрите сравнение натуральных чисел). Поэтому, согласно правилу сравнения дробей с одинаковыми знаменателями, дробь 87/126 больше дроби 65/126.

.

К началу страницы

Сравнение дробей с разными знаменателями


Сравнение дробей с разными знаменателями можно свести к сравнению дробей с одинаковыми знаменателями. Для этого лишь нужно сравниваемые обыкновенные дроби привести к общему знаменателю.

Итак, чтобы сравнить две дроби с разными знаменателями, нужно

  • привести дроби к общему знаменателю;
  • сравнить полученные дроби с одинаковыми знаменателями.

Разберем решение примера.

Сравните дробь 5/12 с дробью 9/16.

Сначала приведем данные дроби с разными знаменателями к общему знаменателю (смотрите правило и примеры приведения дробей к общему знаменателю). В качестве общего знаменателя возьмем наименьший общий знаменатель, равный НОК(12, 16)=48. Тогда дополнительным множителем дроби 5/12 будет число 48&#58;12=4, а дополнительным множителем дроби 9/16 будет число 48&#58;16=3. Получаем и .

Сравнив полученные дроби, имеем . Следовательно, дробь 5/12 меньше, чем дробь 9/16. На этом сравнение дробей с разными знаменателями завершено.

.

Получим еще один способ сравнения дробей с разными знаменателями, который позволит выполнять сравнение дробей без их приведения к общему знаменателю и всех сложностей, связанных с этим процессом.

Для сравнения дробей a/b и c/d, их можно привести к общему знаменателю b·d, равному произведению знаменателей сравниваемых дробей. В этом случае дополнительными множителями дробей a/b и c/d являются числа d и b соответственно, а исходные дроби приводятся к дробям и с общим знаменателем b·d. Вспомнив правило сравнения дробей с одинаковыми знаменателями, заключаем, что сравнение исходных дробей a/b и c/d свелось к сравнению произведений a·d и c·b.

Отсюда вытекает следующее правило сравнения дробей с разными знаменателями: если a·d>b·c, то , а если a·d<b·c, то .

Рассмотрим сравнение дробей с разными знаменателями этим способом.

Сравните обыкновенные дроби 5/18 и 23/86.

В этом примере a=5, b=18, c=23 и d=86. Вычислим произведения a·d и b·c. Имеем a·d=5·86=430 и b·c=18·23=414. Так как 430>414, то дробь 5/18 больше, чем дробь 23/86.

.

К началу страницы

Сравнение дробей с одинаковыми числителями

Дроби с одинаковыми числителями и разными знаменателями, несомненно, можно сравнивать с помощью правил, разобранных в предыдущем пункте. Однако, результат сравнения таких дробей легко получить, сравнив знаменатели этих дробей.

Существует такое правило сравнения дробей с одинаковыми числителями: из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой меньше знаменатель, и меньше та дробь, знаменатель которой больше.

Рассмотрим решение примера.

Сравните дроби 54/19 и 54/31.

Так как числители сравниваемых дробей равны, а знаменатель 19 дроби 54/19 меньше знаменателя 31 дроби 54/31, то 54/19 больше 54/31.

.

В заключение этого пункта приведем пример, хорошо иллюстрирующий основную суть озвученного правила сравнения дробей с одинаковыми числителями. Пусть перед нами две тарелки, на одной из них 1/2 пирога, а на другой 1/16 этого же пирога. Понятно, что скушав половину пирога, мы будем куда больше сыты, чем съев 1/16 его часть.

К началу страницы

Сравнение дроби с натуральным числом

Сравнение обыкновенной дроби с натуральным числом сводится к сравнению двух дробей, если число записать в виде дроби со знаменателем 1 (смотрите натуральное число как дробь со знаменателем 1). Рассмотрим решение примера.

Сравните дробь 63/8 и число 9.

Число 9 можно представить как дробь 9/1, этим сравнение дроби 63/8 и числа 9 сводится к сравнению дробей 63/8 и 9/1. После их приведения к общему знаменателю 8, получаем дроби с одинаковым знаменателем 63/8 и 72/8. Так как 63<72, то , следовательно, .

.

Профиль автора статьи в Google+

К началу страницы

  • Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика: учебник для 5 кл. общеобразовательных учреждений.
  • Виленкин Н.Я. и др. Математика. 6 класс: учебник для общеобразовательных учреждений.
admin