Как определить площадь фигуры

Как определить площадь фигуры

Содержание

Каждый человек представляет, что такое площадь комнаты, площадь участка земли, площадь поверхности, которую надо покрасить. Он также понимает, что если земельные участки одинаковы, то площади их равны; что площадь квартиры складывается из площади комнат и площади других ее помещений.

Это обыденное представление о площади используется при ее определении в геометрии, где говорят о площади фигуры. Но геометрические фигуры устроены по-разному, и поэтому, когда говорят о площади, выделяют определенный класс фигур. Например, рассматривают площадь многоугольника, площадь произвольной плоской фигуры, площадь поверхности многогранника и др. В нашем курсе речь будет идти только о площади многоугольника и произвольной плоской фигуры.

Так же, как и при рассмотрении длины отрезка и величины угла, будем использовать понятие «состоять из», определяя его следующим образом: фигура F состоит (составлена) из фигур F1 и F2, если она является их объединением и у них нет общих внутренних точек.

В этой же ситуации можно говорить, что фигура F разбита на фигуры F1 и F2. Например, о фигуре F, изображенной на рисунке 2, а, можно сказать, что она состоит из фигур F1 и F2, поскольку они не имеют общих внутренних точек. Фигуры F1 и F2 на рисунке 2, b имеют общие внутренние точки, поэтому нельзя утверждать, что фигура F состоит из фигур F1 и F2. Если фигура F состоит из фигур F1 и F2, то пишут: F=F1 Å F2.

Определение.Площадью фигуры называется положительная величина, определенная для каждой фигуры так, что: 1) равные фигуры имеют равные площади; 2) если фигура состоит из двух частей, то ее площадь равна сумме площадей этих частей.

Чтобы измерить площадь фигуры, нужно иметь единицу площади.

Площадь фигуры: понятие площади, свойства площади, квадрируемые фигуры.

Как правило, такой единицей является площадь квадрата со стороной, равной единичному отрезку. Условимся площадь единичного квадрата обозначать буквой Е, а число, которое получается в результате изме­рения площади фигуры – S(F). Это число называют численным значе­нием площади фигуры F при выбранной единице площади Е. Оно должно удовлетворять условиям:

1. Число S(F) — положительное.

2. Если фигуры равны, то равны численные значения их площадей.

3. Если фигура F состоит из фигур F1 и F2, то численное значение площади фигуры равно сумме численных значений площадей фигур F1 и F2.

4. При замене единицы площади численное значение площади данной фигуры F увеличивается (уменьшается) во столько же раз, во сколько новая единица меньше (больше) старой.

5. Численное значение площади единичного квадрата принимается равным 1, т.е. S(F) = 1.

6. Если фигура F1 является частью фигуры F2, то численное значе­ние площади фигуры F1 не больше численного значения площади фи­гуры F2, т.е. F1 Ì F2 Þ S (F1) ≤ S (F2) .

В геометрии доказано, что для многоугольников и произвольных плоских фигур такое число всегда существует и единственно для каждой фигуры.

Фигуры, у которых площади равны, называются равновеликими.

Дата добавления: 2014-12-29; Просмотров: 4597; Нарушение авторских прав?;

Рекомендуемые страницы:

Читайте также:

Презентация по математике на тему :"Площадь фигуры" 3 класс Школа России

Интеграл, методы интегрирования

Площадь фигуры: понятие площади, свойства площади, квадрируемые фигуры.


Так уж сложилось, что мы воспринимаем понятие площади как нечто привычное, естественное и данное изначально. Постоянно приходится слышать про площади различных объектов, будь то любимый дачный участок, складское помещение, квартира или дом. При этом очень часто на вопрос «что же такое площадь» не сразу находится ответ.

В этой статье дадим определение квадрируемой области, озвучим понятие площади фигуры и свойства площади. В заключении остановимся на математическом описании квадрируемых фигур и приведем несколько примеров.


Понятие площади, свойства площади.

Вычисление площади основывается на следующих основных свойствах площади:

  • Положительность. Площадь есть неотрицательное число.
  • Аддитивность. Площадь замкнутой области, составленных из нескольких фигур, не имеющих общих внутренних точек, равна сумме площадей этих фигур.
  • Инвариантность. Площади равных фигур одинаковы.
  • Нормированность. Площадь квадрата, построенного на единичном отрезке, равна единице.

За единицу измерения площади примем площадь элементарного квадрата со стороной r.

Рассмотрим ограниченную фигуру G в прямоугольной декартовой системе координат, ее площадь обозначим S(G). Построим прямые, параллельные оси абсцисс и оси ординат на расстоянии r друг от друга. Эти прямые образуют сетку и разбивают плоскость xOy на элементарные квадраты. Обозначим – фигуру, состоящую из элементарных квадратов, полностью лежащих внутри G и не касающихся ее границы (красная заштрихованная область на рисунке), а — фигуру, состоящую из элементарных квадратов, которые имеют с границей G хотя бы одну общую точку (синяя заштрихованная область на рисунке), а — фигуру, являющуюся объединением и (объединение заштрихованных синей и красной областей). Обозначим площади фигур и соответственно и , они равны количеству составляющих их элементарных квадратов.

Если бесконечно уменьшать длину стороны элементарного квадрата r (делать сетку гуще), то получим множество значений площадей и .

Множество ограничено сверху, следовательно, имеет точную верхнюю грань , назовем ее внутренней площадью фигуры G. Множество ограничено снизу, следовательно, имеет точную нижнюю грань , назовем ее внешней площадью фигуры G.

Фигуру G, у которой внешняя площадь равна внутренней, называют квадрируемой и число есть площадь этой фигуры.

Равенство означает, что площадь квадрируемой фигуры есть единственное число, обладающее этим свойством.

Площадью границы фигурыG называют предел последовательности значений площади при . Для квадрируемой фигуры G площадь границы равна нулю.

Следует заметить, что понятие квадрируемости можно ввести и иначе, например, если рассматривать вписанные и описанные многоугольные фигуры (многоугольной фигурой называют фигуру, которую можно составить из конечного числа треугольников без общих внутренних точек).

Фигура G называется квадрируемой, если для любого сколь угодно малого положительного числа существуют такие входящая и объемлющая многоугольные фигуры P и Q, что и .

В качестве примера можно привести круг с вписанными и описанными правильными -угольниками, где n – натуральное число.

К началу страницы

Квадрируемые фигуры.


Сейчас выясним как же выглядят и как задаются квадрируемые фигуры. Другими словами, площадь каких фигур нам предстоит находить.

Сразу скажем, что фигуры, с которыми мы обычно встречаемся в геометрии (круг, эллипс, квадрат и т.п.), являются квадрируемыми.

Отметим, что любая квадрируемая фигура ограничена. То есть, мы не будем говорить о площади неограниченных фигур.

Объединение и пересечение, а также разность квадрируемых фигур есть квадрируемая фигура.

Сейчас перечислим виды квадрируемых фигур, с которыми мы будем наиболее часто встречаться при вычислении площадей.

  • Фигура квадрируема, если она ограничена непрерывными линиями, являющимися частями графиков функций y = f(x) и x = g(y). Ниже приведены примеры таких фигур. На первом рисунке область сверху ограничена параболой , снизу кривой , справа и слева прямыми x = 1 и x = 9. На втором рисунке в качестве границ области выступают линии .

    Примеры вычисления площадей таких фигур Вы можете посмотреть в статье нахождение площади фигуры, ограниченной линиями y=f(x), x=g(y).

  • Фигура квадрируема, если она ограничена гладкими кривыми. То есть, часть границы может быть задана параметрически . Функции и непрерывны вместе со своими производными на некотором интервале и не имеют самопересечений, что равносильно условию для любого . В качестве примера можно привести фигуру, ограниченную осями координат и частю астроиды для .

    Нахождению площадей таких квадрируемых фигур посвящена статья вычисление площади фигуры, ограниченной параметрически заданной кривой.

  • Фигура квадрируема, если она ограничена простыми замкнутыми кривыми, начало которых совпадает с концом (наиболее часто задаются в полярной системе координат). Для примера приведем один лепесток фигуры .

    Можете ознакомиться с материалом статьи вычисление площади фигуры в полярных координатах.

Подведем итог.

Площадь – это единственная функция, определенная на классе квадрируемых фигур и обладающая свойствами положительности, аддитивности, инвариантности и нормированности.

Некогда разбираться?

Закажите решение

Профиль автора статьи в Google+

К началу страницы

Каждый человек представляет, что такое площадь комнаты, площадь участка земли, площадь поверхности, которую надо покрасить. Он также понимает, что если земельные участки одинаковы, то площади их равны; что площадь квартиры складывается из площади комнат и площади других ее помещений.

Это обыденное представление о площади используется при ее определении в геометрии, где говорят о площади фигуры. Но геометрические фигуры устроены по-разному, и поэтому, когда говорят о площади, выделяют определенный класс фигур. Например, рассматривают площадь многоугольника, площадь произвольной плоской фигуры, площадь поверхности многогранника и др. В нашем курсе речь будет идти только о площади многоугольника и произвольной плоской фигуры.

Так же, как и при рассмотрении длины отрезка и величины угла, будем использовать понятие «состоять из», определяя его следующим образом: фигура F состоит (составлена) из фигур F1 и F2, если она является их объединением и у них нет общих внутренних точек.

В этой же ситуации можно говорить, что фигура F разбита на фигуры F1 и F2. Например, о фигуре F, изображенной на рисунке 2, а, можно сказать, что она состоит из фигур F1 и F2, поскольку они не имеют общих внутренних точек. Фигуры F1 и F2 на рисунке 2, b имеют общие внутренние точки, поэтому нельзя утверждать, что фигура F состоит из фигур F1 и F2. Если фигура F состоит из фигур F1 и F2, то пишут: F=F1 Å F2.

Определение.Площадью фигуры называется положительная величина, определенная для каждой фигуры так, что: 1) равные фигуры имеют равные площади; 2) если фигура состоит из двух частей, то ее площадь равна сумме площадей этих частей.

Чтобы измерить площадь фигуры, нужно иметь единицу площади. Как правило, такой единицей является площадь квадрата со стороной, равной единичному отрезку. Условимся площадь единичного квадрата обозначать буквой Е, а число, которое получается в результате изме­рения площади фигуры – S(F). Это число называют численным значе­нием площади фигуры F при выбранной единице площади Е. Оно должно удовлетворять условиям:

1. Число S(F) — положительное.

Знакомство с понятием "площадь". 3 класс.

Если фигуры равны, то равны численные значения их площадей.

3. Если фигура F состоит из фигур F1 и F2, то численное значение площади фигуры равно сумме численных значений площадей фигур F1 и F2.

4. При замене единицы площади численное значение площади данной фигуры F увеличивается (уменьшается) во столько же раз, во сколько новая единица меньше (больше) старой.

5. Численное значение площади единичного квадрата принимается равным 1, т.е. S(F) = 1.

6. Если фигура F1 является частью фигуры F2, то численное значе­ние площади фигуры F1 не больше численного значения площади фи­гуры F2, т.е. F1 Ì F2 Þ S (F1) ≤ S (F2) .

В геометрии доказано, что для многоугольников и произвольных плоских фигур такое число всегда существует и единственно для каждой фигуры.

Фигуры, у которых площади равны, называются равновеликими.

Дата добавления: 2014-12-29; Просмотров: 4597; Нарушение авторских прав?;

Рекомендуемые страницы:

Читайте также:

Математика – 3 класс. Прямоугольники

Как найти площадь

Определения

Площадь является одним из основных математических понятий. Она характеризует как плоские, так и поверхностные геометрические объекты.

Определение

Площадью плоской замкнутой фигуры называется величина части плоскости, которая находится внутри указанной фигуры.

Единицей измерения площади плоской фигуры является квадрат со стороной, равной единице. Число, соответствующее площади некоторой фигуры, состоящей из частей, равно сумме чисел, соответствующих площадям этих частей. Измерение площадей треугольников и многоугольников основано на возможности построения равновеликих им прямоугольников.

Площадь произвольной ограниченной плоской фигуры определяется как общий предел площадей описанных и вписанных в нее многоугольников, наибольшие стороны которых по длине стремятся к нулю.

Если фигура имеет площадь, то она называется квадрируемой.

Формулы площади основных геометрических фигур

Площадь треугольника

Чтобы найти площадь треугольника, надо найти полупроизведение двух его сторон на синус угла между ними. То есть если известны длины двух сторон треугольника , которые равны и , а также угол между этими сторонами, то искомая площадь:

Читать дальше: формулы площади треугольника и примеры решений →

Площадь круга

Чтобы найти площадь круга, надо найти произведение числа на квадрат радиуса этого круга, то есть

Читать дальше: формула площади круга и примеры решений →

Площадь квадрата

Чтобы найти площадь квадрата, надо длину его стороны возвести в квадрат, то есть

Читать дальше: формула площади квадрата и примеры решений →

Площадь прямоугольника

Чтобы найти площадь прямоугольника, надо его длину умножить на ширину, то есть

Читать дальше: формула площади прямоугольника и примеры решений →

Площадь параллелограмма

Чтобы найти площадь параллелограмма, нужно найти произведение стороны параллелограмма на высоту , проведенную к этой стороне, то есть

Читать дальше: формулы площади параллелограмма и примеры решений →

Площадь трапеции

Чтобы найти площадь трапеции, нужно длину средней линии умножить на длину высоты , опущенной к основанию:

Читать дальше: формулы площади трапеции и примеры решений →

Площадь ромба

Чтобы найти площадь ромба, надо длину стороны умножить на длину высоты, проведенной к этой стороне:

Читать дальше: формулы площади ромба и примеры решений →

Площадь эллипса

Чтобы найти площадь эллипса, нужно найти произведение длин большой и малой полуосей этого эллипса на число , то есть

Читать дальше: формула площади эллипса и примеры решений →

Каждый человек представляет, что такое площадь комнаты, площадь участка земли, площадь поверхности, которую надо покрасить. Он также понимает, что если земельные участки одинаковы, то площади их равны; что площадь квартиры складывается из площади комнат и площади других ее помещений.

Это обыденное представление о площади используется при ее определении в геометрии, где говорят о площади фигуры. Но геометрические фигуры устроены по-разному, и поэтому, когда говорят о площади, выделяют определенный класс фигур. Например, рассматривают площадь многоугольника, площадь произвольной плоской фигуры, площадь поверхности многогранника и др. В нашем курсе речь будет идти только о площади многоугольника и произвольной плоской фигуры.

Так же, как и при рассмотрении длины отрезка и величины угла, будем использовать понятие «состоять из», определяя его следующим образом: фигура F состоит (составлена) из фигур F1 и F2, если она является их объединением и у них нет общих внутренних точек.

В этой же ситуации можно говорить, что фигура F разбита на фигуры F1 и F2. Например, о фигуре F, изображенной на рисунке 2, а, можно сказать, что она состоит из фигур F1 и F2, поскольку они не имеют общих внутренних точек. Фигуры F1 и F2 на рисунке 2, b имеют общие внутренние точки, поэтому нельзя утверждать, что фигура F состоит из фигур F1 и F2. Если фигура F состоит из фигур F1 и F2, то пишут: F=F1 Å F2.

Определение.Площадью фигуры называется положительная величина, определенная для каждой фигуры так, что: 1) равные фигуры имеют равные площади; 2) если фигура состоит из двух частей, то ее площадь равна сумме площадей этих частей.

Чтобы измерить площадь фигуры, нужно иметь единицу площади. Как правило, такой единицей является площадь квадрата со стороной, равной единичному отрезку. Условимся площадь единичного квадрата обозначать буквой Е, а число, которое получается в результате изме­рения площади фигуры – S(F). Это число называют численным значе­нием площади фигуры F при выбранной единице площади Е. Оно должно удовлетворять условиям:

1. Число S(F) — положительное.

2. Если фигуры равны, то равны численные значения их площадей.

Что такое площадь фигуры?

Если фигура F состоит из фигур F1 и F2, то численное значение площади фигуры равно сумме численных значений площадей фигур F1 и F2.

4. При замене единицы площади численное значение площади данной фигуры F увеличивается (уменьшается) во столько же раз, во сколько новая единица меньше (больше) старой.

5. Численное значение площади единичного квадрата принимается равным 1, т.е. S(F) = 1.

6. Если фигура F1 является частью фигуры F2, то численное значе­ние площади фигуры F1 не больше численного значения площади фи­гуры F2, т.е. F1 Ì F2 Þ S (F1) ≤ S (F2) .

В геометрии доказано, что для многоугольников и произвольных плоских фигур такое число всегда существует и единственно для каждой фигуры.

Фигуры, у которых площади равны, называются равновеликими.

Дата добавления: 2014-12-29; Просмотров: 4596; Нарушение авторских прав?;

Рекомендуемые страницы:

Читайте также:

Как найти площадь фигуры с разными сторонами 3 класс

Формула Герона. S = vp(p — a)(p — b)(p — c). Формула площади треугольника по двум сторонам и углу между ними.

Площадь фигуры

Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон умноженного на синус угла между ними.

Как найти площадь фигуры с разными сторонами 3 класс

Площадь всей фигуры равна сумме площадей её частей.

Задача: найти площадь огородного участка.

Так как фигура на рисунке не является ни квадратом, ни прямоугольником, рассчитать её площадь можно используя правило выше.

Разделим фигуру на два прямоугольника, чьи площади мы можем легко рассчитать по известной формуле.

S EFKL = 10 • 3 = 30 м 2

Чтобы найти площадь всей фигуры, сложим площади найденных прямоугольников.

S = 30 + 35 = 65 м 2

Ответ: S = 65 м 2 — площадь огородного участка.

Свойство ниже может вам пригодиться при решении задач на площадь.

Диагональ прямоугольника делит прямоугольник на два равных треугольника.

Площадь любого из этих треугольников равна половине площади прямоугольника.

Вначале найдём площадь прямоугольника по формуле.

Как найти площадь фигуры с разными сторонами 3 класс

Как найти площадь фигуры

Существует множество различных геометрических фигур и множество причин для того, чтобы найти их площадь. Прочитайте эту статью, если вы делаете домашнее задание по геометрии или просто хотите выяснить количество краски для ремонта комнаты. Примечание: результаты расчетов, приведенных в данной статье, даются округленными.

Шаги Править

Метод 1 из 7:

Квадрат, прямоугольник, параллелограмм Править

Как найти площадь фигуры с разными сторонами 3 класс

Формулы площади геометрических фигур.

Площадь геометрической фигуры — численная характеристика геометрической фигуры показывающая размер этой фигуры (части поверхности, ограниченной замкнутым контуром данной фигуры). Величина площади выражается числом заключающихся в нее квадратных единиц.

Формулы площади треугольника

Формула площади треугольника по стороне и высоте

Площадь треугольника равна половине произведения длины стороны треугольника на длину проведенной к этой стороне высоты

Формула Герона

Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон умноженного на синус угла между ними.

Площадь треугольника равна произведения полупериметра треугольника на радиус вписанной окружности.

Где S — площадь треугольника,

A, b, c — длины сторон треугольника,

H — высота треугольника,

Γ — угол между сторонами a и b,

R — радиус вписанной окружности,

R — радиус описанной окружности,

Формулы площади квадрата

Формула площади квадрата по длине стороны

Площадь квадрата равна квадрату длины его стороны.

Площадь квадрата равна половине квадрата длины его диагонали.

Где S — Площадь квадрата,

A — длина стороны квадрата,

D — длина диагонали квадрата.

Формула площади прямоугольника

Где S — Площадь прямоугольника,

A, b — длины сторон прямоугольника.

Формулы площади параллелограмма

Формула площади параллелограмма по длине стороны и высоте

Площадь параллелограмма равна произведению длины его стороны и длины опущенной на эту сторону высоты.

Площадь параллелограмма равна произведению длин его сторон умноженному на синус угла между ними.

Площадь параллелограмма равна половине произведения длин его диагоналей умноженному на синус угла между ними.

Где S — Площадь параллелограмма,

A, b — длины сторон параллелограмма,

H — длина высоты параллелограмма,

D 1, d 2 — длины диагоналей параллелограмма,

Α — угол между сторонами параллелограмма,

γ — угол между диагоналями параллелограмма.

Формулы площади ромба

Формула площади ромба по длине стороны и высоте

Площадь ромба равна произведению длины его стороны и длины опущенной на эту сторону высоты.

Площадь ромба равна произведению квадрата длины его стороны и синуса угла между сторонами ромба.

Площадь ромба равна половине произведению длин его диагоналей.

Где S — Площадь ромба,

A — длина стороны ромба,

H — длина высоты ромба,

Α — угол между сторонами ромба,

Формулы площади трапеции

Формула Герона для трапеции

Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту

A, b — длины основ трапеции,

C, d — длины боковых сторон трапеции,

Формулы площади выпуклого четырехугольника

Формула площади четырехугольника по длине диагоналей и углу между ними

Площадь выпуклого четырехугольника равна половине произведения его диагоналей умноженному на синус угла между ними:

Где S — площадь четырехугольника,

D 1, d 2 — длины диагоналей четырехугольника,

Α — угол между диагоналями четырехугольника.

Площадь выпуклого четырехугольника равна произведению полупериметра на радиус вписанной окружности

Где S — площадь четырехугольника,

A, b, c, d — длины сторон четырехугольника,

Формулы площади круга

Формула площади круга через радиус

Площадь круга равна произведению квадрата радиуса на число пи.

Площадь круга равна четверти произведения квадрата диаметра на число пи.

R — длина радиуса круга,

D — длина диаметра круга.

Формулы площади эллипса

Где S — Площадь эллипса,

A — длина большей полуоси эллипса,

B — длина меньшей полуоси эллипса.

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Копирование материалов запрещено.

Добро пожаловать на OnlineMSchool.

Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

admin