Какие углы называют смежными

Какие углы называют смежными

Геометрия 7 класс

краткое содержание других презентаций

«Смежные и вертикальные углы» — Чернова Галина Петровна. АОВ и. Повторение: дерево знаний. 1. Что такое луч? 2. В. Прямым?Тупым? 1. АОС — развёрнутый 2.180? 3. АОВ и ВОС 4.180?. Смежные углы. Свойство смежных углов. 7. 1.

Смежные углы

«Параллельность прямых 7 класс» — Определение. Теорема. Секущая прямая. Второй признак параллельности двух прямых: Параллельные прямые. Выполнила ученица 7 «А» класса МОУ СОШ № 7 Багина Анна. Первый признак параллельности двух прямых:

«Уроки геометрии в 7 классе» — Найти: угол А, угол С, угол СВD. Задача №1. Найти: угол С. Урок геометрии в 7 классе. №228(а), №230. Работа по готовым чертежам. Задача №3. Проверка домашнего задания. « Сумма углов треугольника. Дано: треугольник АСЕ –равносторон- ний. Задача №2. Решение задач.». Цели урока.

«Геометрия в архитектуре» — Выполнила ученица 7 «а» класса Касимова Эллина. Презентация по геометрии. Такие цилиндрические колонны мы видим в архитектурном оформлении клуба «Железнодорожник». У основания церкви лежат симметричные относительно передней башни многогранники. Луковка представляет собой часть сферы, плавно переходящую и завершающуюся конусом. Именно таким зданием и является городская церковь. Высотные дома на проспекте представляют собой конструкции из прямоугольных параллелепипедов.

«Геометрия 7 класс» — Составитель: Еремеева М.В. Материал взят: http://www.gazpromschool.ru/students/projects/geometry/postr/pr113_5a.htm. Построение биссектрисы угла геометрия, 7 класс. . 2. Построить окружность произвольного радиуса с центром в вершине ?A. . 1. Построить ?A. 5. Построить точку пересечения окружностей: т. D. 4. Построить две окружности равного радиуса с центрами в точках В и С.

«Геометрические построения» — А. По трем сторонам. Деление угла пополам. Построение равного угла. Вписанная окружность. Точка О — середина отрезка АВ. Анимированные алгоритмы. Построение треугольника. BD биссектриса угла АВС. Отрезок А’B’ равен отрезку АВ. О. Дано: CD — серединный перпендикуляр. Геометрические построения. Деление отрезка пополам. D. Угол А’ равен углу А.

Всего в теме «Геометрия 7 класс» 55 презентаций

5klass.net>Геометрия 7 класс>Смежные и вертикальные углы> Слайд 6

2 метода:

В геометрии углом называется фигура, образованная двумя лучами, выходящими из одной точки (вершины угла). Чаще всего углы измеряют в градусах, при этом полный угол, или оборот, равен 360 градусам. Вы можете вычислить угол многоугольника, если вам известен тип многоугольника и величина других его углов или, в случае прямоугольного треугольника, длина двух из его сторон.

Шаги

1 Вычисление углов многоугольника

  1. 1 Сосчитайте количество углов в многоугольнике.
  2. 2 Найдите сумму всех углов многоугольника. Формула для нахождения суммы всех внутренних углов многоугольника выглядит как (n — 2) x 180, где n – число сторон, а также углов многоугольника. Вот суммы углов некоторых часто встречающихся многоугольников:
    • Сумма углов треугольника (трехстороннего многоугольника) составляет 180 градусов.
    • Сумма углов четырехугольника (четырехстороннего многоугольника) составляет 360 градусов.
    • Сумма углов пятиугольника (пятистороннего многоугольника) составляет 540 градусов.
    • Сумма углов шестиугольника (шестистороннего многоугольника) составляет 720 градусов.
    • Сумма углов восьмиугольника (восьмистороннего многоугольника) составляет 1080 градусов.
    • 3 Определите, является ли многоугольник правильным. Правильным называется такой многоугольник, у которого все стороны между собой равны и все углы между собой равны. Примерами правильных многоугольников могут служить равносторонний треугольник и квадрат, в то время как здание Пентагона в Вашингтоне построено в форме правильного пятиугольника, а дорожный знак "стоп" имеет форму правильного восьмиугольника.
      • Если многоугольник правильный, просто разделите сумму его углов на количество углов. Соответственно, каждый угол равностороннего треугольника равен 180/3, или 60 градусам, а каждый угол квадрата – 360/4, или 90 градусам.

        (Хотя прямоугольник и не является правильным многоугольником, все его углы также равны 90 градусам.)

      • Если многоугольник не является правильным, вам нужно знать значения других углов, чтобы вычислить неизвестный угол. Переходите к следующему шагу.
      • 4 Сложите известные величины углов многоугольника, а затем вычтите эту сумму из общей суммы всех его углов. В большинстве геометрических задач такого рода речь идет о треугольниках или четырехугольниках, поскольку в них нужно меньше исходных данных, так что мы поступим аналогично.
        • Если два угла треугольника равны, соответственно, 60 градусам и 80 градусам, сложите эти числа. Получится 140 градусов. Затем вычтите эту сумму из общей суммы всех углов треугольника, то есть из 180 градусов: 180 — 140 = 40 градусов. (Треугольник, все углы которого неравны между собой, называется неравносторонним.)
        • Вы можете записать это решение в виде формулы a = 180 — (b + c), где а – угол, величину которого нужно найти, b и c – величины известных углов. Для многоугольников с числом сторон больше трех замените 180 на сумму углов многоугольника данного вида и добавьте по одному слагаемому к сумме в скобках для каждого известного угла.
        • В некоторых многоугольниках есть свои "хитрости", которые помогут вам вычислить неизвестный угол. Например, равнобедренный треугольник – это треугольник с двумя равными сторонами и двумя равными углами. Параллелограмм – это четырехугольник, противоположные стороны которого равны, и противоположные углы также равны.

        2 Вычисление углов прямоугольного треугольника

        1. 1 Определите, какие данные вам известны. Прямоугольный треугольник называется так потому, что один его углов является прямым. Вы можете найти величину одного из двух оставшихся углов, если вам известна одна из следующих величин:
          • Величина третьего угла. В этом случае вам нужно сложить ее с 90 градусами (величиной прямого угла) и вычесть полученную сумму из 180.
          • Величина двух любых сторон треугольника. В этом случае вы можете найти величину угла, используя тригонометрию.
          • 2 Определите, какую тригонометрическую функцию нужно использовать. Тригонометрические функции выражают соотношения двух из трех сторон треугольника. Существует шесть тригонометрических функций, но чаще всего используются следующие:
            • Если вы знаете длину противолежащего катета (стороны, противоположной углу) и гипотенузы (стороны, лежащей против прямого угла), вы можете рассчитать синус, который равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.
            • Если вы знаете длину прилежащего катета (стороны, прилежащей углу) и гипотенузы, вы можете рассчитать косинус, который равен отношению прилежащего катета к гипотенузе.
            • Если вы знаете длину обоих катетов, вы можете рассчитать тангенс, который равен отношению противолежащего катета к прилежащему.
            • 3 Найдите соотношение известных сторон. Предположим для примера, что противолежащий катет равен 5 см, а гипотенуза равна 10 см. Зная эти стороны, мы можем найти синус угла.
              • Разделим длину противолежащего катета на длину гипотенузы: 5 / 10 = 0,5.
              • 4 Найдите угол, соответствующий найденному значению тригонометрической функции. Так ка мы воспользовались функцией синуса, нужно найти угол, синус которого равен 0,5 (или арксинус 0,5).

                Что такое смежные углы

                Для этого есть два способа:

                • До появления калькуляторов с тригонометрическими функциями для этой цели использовались тригонометрические таблицы, в которых были собраны значения синусов, косинусов и тангенсов углов от 0 до 90 градусов. Возьмите колонку "синус", найдите в ней значение "0,5" и посмотрите, какая величина угла ему соответствует.
                • На калькуляторе, позволяющем вычислять тригонометрические функции, введите значение синуса (или оно уже введено, если вы делили на нем длину противолежащего катета на длину гипотенузы) и нажмите нужную клавишу или клавиши. В зависимости от модели калькулятора, это может быть единственная клавиша с надписью "sin-1"или клавиша "Inv", "2ndF" или "Shift", а затем "sin".
                • Каким бы способом вы ни воспользовались для решения этого примера, ответом будет 30 градусов.

                Советы

                • Углы имеют свои названия в зависимости от величины. Как отмечалось выше, угол, равный 90 градусам, называется прямым. Угол больше 0, но меньше 90 градусов, называется острым, а больше 90, но меньше 180 градусов – тупым. Угол, равный 180 градусам, – это развернутый угол, а больше 180, но меньше 360 градусов – невыпуклым.
                • Два угла, в сумме дающие 90 градусов, называются дополнительными (так, дополнительными являются два непрямых угла в прямоугольном треугольнике). Два угла, сумма которых равна 180 градусам – это смежные углы.

                Things You’ll Need

                Прислал: DarK_Knigt . 2017-11-06 10:41:04

                Ссылки по теме:

                Геометрия 7 класс

                краткое содержание других презентаций

                «Смежные и вертикальные углы» — Чернова Галина Петровна. АОВ и. Повторение: дерево знаний. 1. Что такое луч? 2. В. Прямым?Тупым? 1.

                Углы. Смежные углы.

                АОС — развёрнутый 2.180? 3. АОВ и ВОС 4.180?. Смежные углы. Свойство смежных углов. 7. 1.

                «Параллельность прямых 7 класс» — Определение. Теорема. Секущая прямая. Второй признак параллельности двух прямых: Параллельные прямые. Выполнила ученица 7 «А» класса МОУ СОШ № 7 Багина Анна. Первый признак параллельности двух прямых:

                «Уроки геометрии в 7 классе» — Найти: угол А, угол С, угол СВD. Задача №1. Найти: угол С. Урок геометрии в 7 классе. №228(а), №230. Работа по готовым чертежам. Задача №3. Проверка домашнего задания. « Сумма углов треугольника. Дано: треугольник АСЕ –равносторон- ний. Задача №2. Решение задач.». Цели урока.

                «Геометрия в архитектуре» — Выполнила ученица 7 «а» класса Касимова Эллина. Презентация по геометрии. Такие цилиндрические колонны мы видим в архитектурном оформлении клуба «Железнодорожник». У основания церкви лежат симметричные относительно передней башни многогранники. Луковка представляет собой часть сферы, плавно переходящую и завершающуюся конусом. Именно таким зданием и является городская церковь. Высотные дома на проспекте представляют собой конструкции из прямоугольных параллелепипедов.

                «Геометрия 7 класс» — Составитель: Еремеева М.В. Материал взят: http://www.gazpromschool.ru/students/projects/geometry/postr/pr113_5a.htm. Построение биссектрисы угла геометрия, 7 класс. . 2. Построить окружность произвольного радиуса с центром в вершине ?A. . 1. Построить ?A. 5. Построить точку пересечения окружностей: т. D. 4. Построить две окружности равного радиуса с центрами в точках В и С.

                «Геометрические построения» — А. По трем сторонам. Деление угла пополам. Построение равного угла. Вписанная окружность. Точка О — середина отрезка АВ. Анимированные алгоритмы. Построение треугольника. BD биссектриса угла АВС. Отрезок А’B’ равен отрезку АВ. О. Дано: CD — серединный перпендикуляр. Геометрические построения. Деление отрезка пополам. D. Угол А’ равен углу А.

                Всего в теме «Геометрия 7 класс» 55 презентаций

                5klass.net>Геометрия 7 класс>Смежные и вертикальные углы> Слайд 6

                Сумма внутренних углов треугольника

                Теорема.Сумма внутренних углов треугольника равна двум прямым углам.

                Возьмём какой-нибудь треугольник AВС (рис. 208). Обозначим его внутренние углы цифрами 1, 2 и 3. Докажем, что

                ∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°.

                Проведём через какую-нибудь вершину треугольника, например В, прямую МN параллельно АС.

                При вершине В мы получили три угла: ∠4, ∠2 и ∠5.

                Свойства смежных углов

                Их сумма составляет развёрнутый угол, следовательно, она равна 180°:

                ∠4 + ∠2 + ∠5 = 180°.

                Но ∠4 = ∠1 — это внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых МN и АС и секущей АВ.

                ∠5 = ∠3 — это внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых МN и АС и секущей ВС.

                Значит, ∠4 и ∠5 можно заменить равными им ∠1 и ∠3.

                Следовательно, ∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°. Теорема доказана.

                2. Свойство внешнего угла треугольника.

                Теорема.Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.

                В самом деле, в треугольнике ABC (рис. 209) ∠1 + ∠2 = 180° — ∠3, но и ∠ВСD, внешний угол этого треугольника, не смежный с ∠1 и ∠2, также равен 180° — ∠3.

                Таким образом:

                ∠1 + ∠2 = 180° — ∠3;

                ∠BCD = 180° — ∠3.

                Следовательно, ∠1 + ∠2= ∠BCD.

                Выведенное свойство внешнего угла треугольника уточняет содержание ранее доказанной теоремы о внешнем угле треугольника, в которой утверждалось только, что внешний угол треугольника больше каждого внутреннего угла треугольника, не смежного с ним; теперь же устанавливается, что внешний угол равен сумме обоих внутренних углов, не смежных с ним.

                3. Свойство прямоугольного треугольника с углом в 30°.

                Теорема.Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.

                Пусть в прямоугольном треугольнике АСВ угол В равен 30° (рис. 210). Тогда другой его острый угол будет равен 60°.

                Докажем, что катет АС равен половине гипотенузы АВ. Продолжим катет АС за вершину прямого угла С и отложим отрезок СМ, равный отрезку АС. Точку М соединим с точкой В. Полученный треугольник ВСМ равен треугольнику АСВ. Мы видим, что каждый угол треугольника АВМ равен 60°, следовательно, этот треугольник — равносторонний.

                Катет АС равен половине АМ, а так как АМ равняется АВ, то катет АС будет равен половине гипотенузы АВ.

                Вопрос 1. Какие углы называются смежными?
                Ответ. Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а другие стороны этих углов являются дополнительными полупрямыми.
                На рисунке 31 углы (a1b) и (a2b) смежные. У них сторона b общая, а стороны a1 и a2 являются дополнительными полупрямыми.

                Вопрос 2. Докажите, что сумма смежных углов равна 180°.
                Ответ.Теорема 2.1. Сумма смежных углов равна 180°.
                Доказательство. Пусть угол (a1b) и угол (a2b) — данные смежные углы (см. рис.31). Луч b проходит между сторонами a1 и a2 развёрнутого угла. Поэтому сумма углов (a1b) и (a2b) равна развёрнутому углу, т. е. 180°. Что и требовалось доказать.

                Вопрос 3. Докажите, что если два угла равны, то смежные с ними углы также равны.
                Ответ.

                Из теоремы 2.1 следует, что если два угла равны, то смежные с ними углы равны.
                Допустим, углы (a1b) и (c1d) равны. Нам нужно доказать, что углы (a2b) и (c2d) тоже равны.
                Сумма смежных углов равна 180°. Из этого следует, что a1b + a2b = 180° и c1d + c2d = 180°. Отсюда, a2b = 180° — a1b и c2d = 180° — c1d. Так как углы (a1b) и (c1d) равны, то мы получаем, что a2b = 180° — a1b = c2d. По свойству транзитивности знака равенства следует, что a2b = c2d. Что и требовалось доказать.

                Вопрос 4. Какой угол называется прямым (острым, тупым)?
                Ответ. Угол, равный 90°, называется прямым углом.
                Угол, меньший 90°, называется острым углом.
                Угол, больший 90° и меньший 180°, называется тупым.

                Вопрос 5. Докажите, что угол, смежный с прямым, есть прямой угол.
                Ответ. Из теоремы о сумме смежных углов следует, что угол, смежный с прямым углом, есть прямой угол: x + 90° = 180°,  x= 180° — 90°, x = 90°.

                Вопрос 6. Какие углы называются вертикальными?
                Ответ. Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются дополнительными полупрямыми сторон другого.

                Вопрос 7. Докажите, что вертикальные углы равны.
                Ответ. Теорема 2.2. Вертикальные углы равны.
                Доказательство.
                Пусть (a1b1) и (a2b2)- данные вертикальные углы (рис. 34). Угол (a1b2) является смежным с углом (a1b1) и с углом (a2b2). Отсюда по теореме о сумме смежных углов заключаем, что каждый из углов (a1b1) и (a2b2) дополняет угол (a1b2) до 180°, т.е. углы (a1b1) и (a2b2) равны. Что и требовалось доказать.

                Вопрос 8. Докажите, что если при пересечении двух прямых один из углов прямой, то остальные три угла тоже прямые.
                Ответ. Предположим, что прямые AB и CD пересекают друг друга в точке O. Предположим, что угол AOD равен 90°. Так как сумма смежных углов равна 180°, то получаем, что AOC = 180°-AOD = 180°- 90°=90°. Угол COB вертикален углу AOD, поэтому они равны. То есть угол COB = 90°. Угол COA вертикален углу BOD, поэтому они равны. То есть угол BOD = 90°. Таким образом, все углы равны 90°, то есть они все – прямые. Что и требовалось доказать.

                Вопрос 9. Какие прямые называются перпендикулярными? Какой знак используется для обозначения  перпендикулярности прямых?
                Ответ. Две прямые называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом.
                Перпендикулярность прямых обозначается знаком \(\perp\). Запись \(a\perp b\) читается: «Прямая a перпендикулярна прямой b».

                Вопрос 10. Докажите, что через любую точку прямой можно провести перпендикулярную ей прямую, и только одну.
                Ответ. Теорема 2.3. Через каждую прямую можно провести перпендикулярную ей прямую, и только одну.
                Доказательство. Пусть a — данная прямая и A — данная точка на ней. Обозначим через a1 одну из полупрямых прямой a с начальной точкой A (рис. 38). Отложим от полупрямой a1 угол (a1b1), равный 90°. Тогда прямая, содержащая луч b1, будет перпендикулярна прямой a.

                Допустим, что существует другая прямая, тоже проходящая через точку A и перпендикулярная прямой a. Обозначим через c1 полупрямую этой прямой, лежащую в одной полуплоскости с лучом b1.
                Углы (a1b1) и (a1c1), равные каждый 90°, отложены в одну полуплоскость от полупрямой a1. Но от полупрямой a1 в данную полуплоскость можно отложить только один угол, равный 90°. Поэтому не быть другой прямой, проходящей через точку A и перпендикулярной прямой a. Теорема доказана.

                Вопрос 11.

                Смежные и вертикальные углы. Определение, свойство

                Что такое перпендикуляр к прямой?
                Ответ. Перпендикуляром к данной прямой называется отрезок прямой, перпендикулярной данной, который имеет одним из своих концов их точку пересечения. Этот конец отрезка называется основанием перпендикуляра.

                Вопрос 12. Объясните, в чём состоит доказательство от противного.
                Ответ. Способ доказательства, который мы применили в теореме 2.3, называется доказательством от противного. Этот способ доказательства состоит в том, что мы cначала делаем предположение, противоположное тому, что утверждается теоремой. Затем путем рассуждений, опираясь на аксиомы и доказанные теоремы, приходим к выводу, противоречащему либо условию теоремы, либо одной из аксиом, либо доказанной ранее теореме. На этом основании заключаем, что наше предположение было неверным, а значит, верно утверждение теоремы.

                Вопрос 13. Что называется биссектрисой угла?
                Ответ. Биссектрисой угла называется луч, который исходит из вершины угла, проходит между его сторонами и делит угол пополам.

                § 7. Смежные углы. Прямой угол

                На черт. 15 вы видите углы 1 и 2, которые расположены так, что вершины их совпадают (в точке А) и одна сторона (AD) у них общая, т. е. принадлежит одновременно обоим углам, другие же стороны АВ и АС этой пары углов составляют одну прямую линию. Углы, которые так расположены, называются с м е ж н ы м и. На черт. 16 вы видите несколько пар смежных углов: уг. 1 и уг. 2; уг. 3 и уг. 4; уг. 5 и у г. 6; у г. а и у г. b; уг. с и у г. d, и др.

                Если углы, составляющие одну пару смежных углов, равны между собою, – как уг. 7 и 8 на черт. 16, – то каждый из них называется прямым углом. Значит:

                П р я м о й у г о л е с т ь о д и н и з д в у х р а в н ы х с м е ж н ы х у г л о в.

                Так как оба равных смежных угла составляют вместе один развернутый угол, то прямой угол есть половина развернутого угла. Но все развернутые углы равны друг другу; поэтому равны и их половины, т. е. прямые углы. Значит:

                В с е п р я м ы е у г л ы р а в н ы д р у г д р у г у.

                Прямые линии, встречающиеся под прямым углом (черт. 17), называются перпендикулярными друг к другу. На черт. 17, например, уг. 1 = уг. 2, а так как эти углы смежные и притом равные, то они – прямые. Поэтому CDперпендикулярно к АВ и АВ перпендикулярно к CD.

                Слово «перпендикулярный» не надо смешивать со словом «вертикальный». В е р т и к а л ь н о й, или о т в е с н о й, называют всякую прямую линию, имеющую направление свободно свешивающейся нагруженной нити.

                Все те линии, которые составляют с вертикальной линией прямой угол, называются г о р и з о н т а л ь н ым и. Горизонтальны, например, все линии, проведенные по поверхности воды (черт. 18). Отвесное направление проверяют отвесом (черт. 18); горизонтальное – плотничьим ватерпасом.

                На бумаге прямой угол чертят помощью линейки и чертежного треугольника (черт. 19). Проверить, правильно ли изготовлен чертежный треугольник, можно так. Проведя по линейке прямую линию и начертив с помощью треугольника другую прямую к ней, перпендикулярную, прикладывают чертежный треугольник прямым углом к смежному углу: если эти углы равны, то треугольник изготовлен правильно.

                Углы, меньшие, чем прямой, называются о с т р ы м и; большие, чем прямой, – т у п ы м и.

                Повторительные вопросы к §§ 6 и 7

                Какой угол называется развернутым? – Какие углы называются смежными (начертите несколько таких углов)? – Какой угол называется прямым? – Как называется угол, который равен смежному с ним? – Могут ли прямые углы иметь различную величину?

                Смежные и вертикальные углы. Перпендикулярные прямые

                – Объясните значение слов: перпендикулярный, вертикальный, отвесный, горизонтальный. – Как чертить перпендикулярные прямые помощью чертежного треугольника? – Какие углы называются острыми? Тупыми? Начертите несколько острых и несколько тупых углов.

                Применения

                1. Уменье чертить взаимно-перпендикулярные прямые позволяет строить так наз. «графики», т. е. ломаные (или кривые) линии, наглядно показывающие ход изменения явлений. Пусть требуется построить график температуры за неделю по следующим данным:

                Изобразим эти температуры рядом перпендикуляров к одной прямой, приведенных на равных расстояниях друг от друга: длина перпендикулярных отрезков будет изображать температуру дня. Верхушки перпендикуляров соединим прямыми линиями: полученная ломаная линия и есть «график температур».

                2. На черт. 20 изображены графики годового хода температуры воздуха в разных местах земного шара: на о-ве Цейлон, в Ницце, в Самаре, во Владивостоке и в Верхоянске. Рассматривая эти графики, мы можем ответить себе на ряд могущих возникнуть вопросов, например:

                a) Какова температура в среднем за много лет во всех на званных местах 1 мая?

                О т в е т. На Цейлоне +27° в Ницце +18°, в Самаре +15°, во Владивостоке +10°, в Верхоянске 0°.

                b) Какие дни в году (в среднем) самые жаркие и самые холодные в Верхоянске?

                О т в е т. 1-е июля + 15°1-е января – минус 50°

                c) В каких городах в апреле средняя температура ниже0°?

                О т в е т. В Верхоянске, Владивостоке и Самаре.

                d) Какова разница между самой высокой и самой низкой средней температурой в Ницце? В Самаре?

                О т в е т ы. В Ницце средняя температура колеблется от +9° до +24°; в Самаре – от минус 10° до +21°.

                admin