Нахождение стороны треугольника через косинус

Нахождение стороны треугольника через косинус

Содержание

Нахождение сторон треугольника через косинус и синус

Скачать к уроку математики Конспект урока по математике в 6 классе по теме «Параллельные прямые». Методы обучения: словесные (беседа, рассказ), наглядные (презентация, работа с чертежным треугольником), практические (упражнения для коллективного, индивидуального выполнения в.

Прямоугольный треугольник. Вычисление сторон и углов. Задание В7 (2015

Для решения задач на нахождение сторон и углов прямоугольного треугольника нужно вспомнить определения синуса, косинуса и тангенса.

Рассмотрим прямоугольный треугольник:

Противолежащий катет — это тот катет, который лежит напротив угла, синус которого мы рассматриваем.

Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Прилежащий катет — это тот катет, который является одной из сторон угла, косинус которого мы рассматриваем.

Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.

Задачи на нахождение сторон и углов прямоугольного треугольника решаются по такому алгоритму:

1. Выделяем треугольник, в который входит сторона или угол, который нам нужно найти.

2. Смотрим, какие элементы треугольника нам известны, и с помощью какой тригонометрической функции они между собой связаны.

3. Записываем соотношение, которое связывает между собой эти элементы,

Рассмотрим примеры решения задач из Открытого банка заданий для подготовки к ЕГЭ по математике:

Решим эту задачу двумя способами.

А. Так как требуется найти косинус угла, синус которого известен, мы можем воспользоваться основным тригонометрическим тождеством.

2 . Задание В7 (№27220)

Смотрим на рис.1:

3 . Задание В7 (№27221)

4 . Задание В7 (№27221)

5 . Задание В7 (№27259)

Купить видеокурс «ВСЯ ГЕОМЕТРИЯ.

Как найти сторону через синус

Часть В»

Для вас другие записи этой рубрики:

Отзывов ( 7 )

Здравствуйте, Инна. Благодаря Вашему сайту, я белый свет увидела. А то все выходные сижу, выбираю из всех пособий ЕГЭ задачи, естественно решаю их. Учителя математики, работающие в 11 классе, очень хорошо меня понимают. Огромное Вам, Инна, спасибо, очень хороший подбор геометрических задач.

Учась в школе, больше любил геометрию, чем алгебру. Вот и сейчас очень часто приходится «решать» прямоугольные треугольники: то угол нужно вычислить, то длину катета…

У меня вопрос, а почему в задаче номер пять, где вы находите косинус через основное тригонометрическое тождество, равняется корень из пяти деленного на три?

А то у меня получилось, что квадрат сокращается остается 1-2/3, и, получается равно 1/3, не как у вас. Обьясните пожалуйста, как вы решили

Добавте плииз задачу где есть гипотенуза и там надо найти меньший из отрезков на которые делит гипотенуза биссектриса прямого угла

А можно условие задачи, или хотя бы номер в банке заданий

Ребята ну что это такое? Это же школьная программа 8 класса, если хотите что то интересное зайдите в квант) все ведь в школе учились?

Нахождение сторон треугольника через косинус и синус

Треугольник. Расчет сторон прямоугольного треугольника через тригонометрические функции.

Вполне логично сделать вывод, будут верны следующие Равенства:

Значит Катет прямоугольного треугольника допускается представить как произведение Гипотенузы и Синуса угла, Противолежащего этому катету, либо и Косинуса угла, прилежащего к нему.

На основе этих соотношений так же можно определить Гипотенузу прямоугольного треугольника:

Иначе говоря, Гипотенуза будет Частным от деления катета либо на синус противолежащего к нему угла, либо на косинус Прилежащего к катету Угла.

Значит, Катет прямоугольного треугольника допускается представить как произведением другого катета на Тангенс угла, противолежащего первому катету, либо на Котангенс угла, прилежащего к первому катету.

Нахождение сторон треугольника через косинус и синус

Площадь треугольника через синус и косинус

I. Площадь треугольника через синус

Площадь треугольника будет равна 3 кв. см.

Также могут быть и другие условия. Если дана длина одной стороны и углы, то для начала нужно вычислить недостающий угол. Т. к. сумма всех углов треугольника равняется 180°, то:

Площадь будет равна половине квадрата стороны, умноженной на дробь. В ее числителе находится произведение синусов прилегающих углов, а в знаменателе синус противолежащего угла. Теперь рассчитываем площадь по следующим формулам:

Получаем, что площадь треугольника равняется 3,87 кв. см.

II. Площадь треугольника через косинус

Чтобы найти площадь треугольника, нужно знать длины всех сторон. По теореме косинусов можно найти не известные стороны, а уже потом использовать формулу Герона.

По теореме косинусов квадрат неизвестной стороны треугольника равняется сумме квадратов остальных сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла, находящегося между ними.

Из теоремы выводим формулы для поиска длины неизвестной стороны:

Зная как найти недостающую сторону, имея две стороны и угол между ними можно легко посчитать площадь. Формула площади треугольника через косинус помогает легко и быстро найти решение различных задач.

Коротко о главном Средний уровень

Теорема косинусов. Средний уровень.

Теорема косинусов: квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними:

Что же такое теорема косинусов? Представь себе, это такая… теорема Пифагора для произвольного треугольника.

Теорема косинусов: формулировка.

Теорема косинусов гласит: квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон треугольника минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

А теперь объясняю почему так и причем тут теорема Пифагор.

Ведь что утверждает теорема Пифагора?

В прямоугольном треугольнике:

А что будет, если , скажем, острый?

Вроде ясно, что величина должна быть меньше, чем . Но вот на сколько меньше?

А если — тупой?

Ну, тогда величина больше, чем ? Но, опять же, на сколько? И как это связано с величиной ?

Вот сейчас и выясним, точнее, сперва сформулируем, а потом докажем.

Итак, для всякого (и остроугольного, и тупоугольного и даже прямоугольного!) треугольника верна теорема косинусов.

Теорема косинусов:

Теорема косинусов: доказательство.

Правда, теорема косинусов похожа на теорему Пифагора? Только с добавкой . Ну вот, давай доказывать.

1 Случай: пусть .

Итак, , то есть острый.

Проведем высоту  из точки и рассмотрим треугольник .

Все формулы для треугольника

Он прямоугольный, можно пользоваться теоремой Пифагора:

Что такое  и ?

 можно выразить из треугольника (прямоугольного!) .

А вот  (снова из ).

Подставляем:

Раскрываем:

Пользуемся тем, что  и… всё!

2 Случай: пусть .

Итак, , то есть тупой.

Начинаем точно также: опускаем высоту из точки . И снова:

А теперь, внимание, отличие!

 — это из , который теперь оказался снаружи , а

Вспоминаем, что

(читай тему «Формулы тригонометрии», если совсем забыл, почему так).

Значит,  — и все! Отличие закончилось!

, — как и было, то есть:

Ну и остался последний случай.

3 Случай: пусть .

Итак, . Но тогда  и теорема косинусов просто превращается в теорему Пифагора:

В каких же задачах бывает полезна теорема косинусов?

Ну, например, если у тебя даны две стороны треугольника и угол между ними, то ты прямо сразу можешь найти третью сторону.

Или, если тебе даны все три стороны, то ты тут же найдешь косинус любого угла по формуле

И даже, если тебе даны две стороны и угол НЕ между ними, то третью сторону тоже можно найти, решая квадратное уравнение. Правда, в этом случае получается иногда два ответа и нужно соображать, какой же из них выбрать, или оставить оба.

Попробуй применять и не бояться – теорема косинусов почти также легка в обращении, как и теорема Пифагора.

Комментарии

Нахождение сторон треугольника через косинус и синус

Скачать к уроку математики Конспект урока по математике в 6 классе по теме «Параллельные прямые». Методы обучения: словесные (беседа, рассказ), наглядные (презентация, работа с чертежным треугольником), практические (упражнения для коллективного, индивидуального выполнения в.

Прямоугольный треугольник. Вычисление сторон и углов. Задание В7 (2015

Для решения задач на нахождение сторон и углов прямоугольного треугольника нужно вспомнить определения синуса, косинуса и тангенса.

Рассмотрим прямоугольный треугольник:

Противолежащий катет — это тот катет, который лежит напротив угла, синус которого мы рассматриваем.

Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Прилежащий катет — это тот катет, который является одной из сторон угла, косинус которого мы рассматриваем.

Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.

Задачи на нахождение сторон и углов прямоугольного треугольника решаются по такому алгоритму:

1. Выделяем треугольник, в который входит сторона или угол, который нам нужно найти.

2. Смотрим, какие элементы треугольника нам известны, и с помощью какой тригонометрической функции они между собой связаны.

3. Записываем соотношение, которое связывает между собой эти элементы,

Рассмотрим примеры решения задач из Открытого банка заданий для подготовки к ЕГЭ по математике:

Решим эту задачу двумя способами.

А. Так как требуется найти косинус угла, синус которого известен, мы можем воспользоваться основным тригонометрическим тождеством.

2 . Задание В7 (№27220)

Смотрим на рис.1:

3 . Задание В7 (№27221)

4 . Задание В7 (№27221)

5 . Задание В7 (№27259)

Купить видеокурс «ВСЯ ГЕОМЕТРИЯ. Часть В»

Для вас другие записи этой рубрики:

Отзывов ( 7 )

Здравствуйте, Инна. Благодаря Вашему сайту, я белый свет увидела. А то все выходные сижу, выбираю из всех пособий ЕГЭ задачи, естественно решаю их.

Как найти сторону треугольника, зная сторону и угол

Учителя математики, работающие в 11 классе, очень хорошо меня понимают. Огромное Вам, Инна, спасибо, очень хороший подбор геометрических задач.

Учась в школе, больше любил геометрию, чем алгебру. Вот и сейчас очень часто приходится «решать» прямоугольные треугольники: то угол нужно вычислить, то длину катета…

У меня вопрос, а почему в задаче номер пять, где вы находите косинус через основное тригонометрическое тождество, равняется корень из пяти деленного на три? А то у меня получилось, что квадрат сокращается остается 1-2/3, и, получается равно 1/3, не как у вас. Обьясните пожалуйста, как вы решили

Добавте плииз задачу где есть гипотенуза и там надо найти меньший из отрезков на которые делит гипотенуза биссектриса прямого угла

А можно условие задачи, или хотя бы номер в банке заданий

Ребята ну что это такое? Это же школьная программа 8 класса, если хотите что то интересное зайдите в квант) все ведь в школе учились?

Нахождение сторон треугольника через косинус и синус

Треугольник. Расчет сторон прямоугольного треугольника через тригонометрические функции.

Вполне логично сделать вывод, будут верны следующие Равенства:

Значит Катет прямоугольного треугольника допускается представить как произведение Гипотенузы и Синуса угла, Противолежащего этому катету, либо и Косинуса угла, прилежащего к нему.

На основе этих соотношений так же можно определить Гипотенузу прямоугольного треугольника:

Иначе говоря, Гипотенуза будет Частным от деления катета либо на синус противолежащего к нему угла, либо на косинус Прилежащего к катету Угла.

Значит, Катет прямоугольного треугольника допускается представить как произведением другого катета на Тангенс угла, противолежащего первому катету, либо на Котангенс угла, прилежащего к первому катету.

Нахождение сторон треугольника через косинус и синус

Площадь треугольника через синус и косинус

I. Площадь треугольника через синус

Площадь треугольника будет равна 3 кв. см.

Также могут быть и другие условия. Если дана длина одной стороны и углы, то для начала нужно вычислить недостающий угол. Т. к. сумма всех углов треугольника равняется 180°, то:

Площадь будет равна половине квадрата стороны, умноженной на дробь. В ее числителе находится произведение синусов прилегающих углов, а в знаменателе синус противолежащего угла. Теперь рассчитываем площадь по следующим формулам:

Получаем, что площадь треугольника равняется 3,87 кв. см.

II. Площадь треугольника через косинус

Чтобы найти площадь треугольника, нужно знать длины всех сторон. По теореме косинусов можно найти не известные стороны, а уже потом использовать формулу Герона.

По теореме косинусов квадрат неизвестной стороны треугольника равняется сумме квадратов остальных сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла, находящегося между ними.

Из теоремы выводим формулы для поиска длины неизвестной стороны:

Зная как найти недостающую сторону, имея две стороны и угол между ними можно легко посчитать площадь. Формула площади треугольника через косинус помогает легко и быстро найти решение различных задач.

admin