Объем пирамиды через вектора

Объем пирамиды через вектора

Задание:

Вычислить объем пирамиды и длину высоты, опущенную с вершины A пирамиды, образованной точками:
$$A\left({1}, {2}, {-5}\right)$$ ; &nbsp&nbsp&nbsp&nbsp $$B\left({1}, {4}, {1}\right)$$ ; &nbsp&nbsp&nbsp&nbsp $$C\left({4}, {0}, {-3}\right)$$ ; &nbsp&nbsp&nbsp&nbsp $$D\left({7}, {2}, {7}\right)$$ ;

Решение:

Для нахождения высоты пирамиды, необходимо знать ее объем и площадь основания

Найдем объем пирамиды
$$\overline{AB}$$ = $$\lbrace{{{1}-{1}}}, {{{4}-{2}}}, {{{1}-\left({-5}\right)}}\rbrace$$ = $$\lbrace{0}, {2}, {6}\rbrace$$
$$\overline{AC}$$ = $$\lbrace{{{4}-{1}}}, {{{0}-{2}}}, {{{-3}-\left({-5}\right)}}\rbrace$$ = $$\lbrace{3}, {-2}, {2}\rbrace$$
$$\overline{AD}$$ = $$\lbrace{{{7}-{1}}}, {{{2}-{2}}}, {{{7}-\left({-5}\right)}}\rbrace$$ = $$\lbrace{6}, {0}, {12}\rbrace$$

Найдем смешанное произведение векторов.
$${{\overline{AB}}\cdot {\overline{AC}}\cdot {\overline{AD}}}$$ = $${\begin{vmatrix}{{AB}_{{x} }}&{{AB}_{{y} }}&{{AB}_{{z} }}\\{{AC}_{{x} }}&{{AC}_{{y} }}&{{AC}_{{z} }}\\{{AD}_{{x} }}&{{AD}_{{y} }}&{{AD}_{{z} }}\end{vmatrix}}$$ = $${\begin{vmatrix}{0}&{2}&{6}\\{3}&{-2}&{2}\\{6}&{0}&{12}\end{vmatrix}}$$

$${\begin{vmatrix}{0}&{2}&{6}\\{3}&{-2}&{2}\\{6}&{0}&{12}\end{vmatrix}}$$ = $${\begin{vmatrix}{{{0}-{{{2}\cdot {{\frac {0}{2}}}}}}}&{2}&{{{6}-{{{2}\cdot {{\frac {6}{2}}}}}}}\\{{{3}-\left({{{-2}\cdot {{\frac {0}{2}}}}}\right)}}&{-2}&{{{2}-\left({{{-2}\cdot {{\frac {6}{2}}}}}\right)}}\\{{{6}-{{{0}\cdot {{\frac {0}{2}}}}}}}&{0}&{{{12}-{{{0}\cdot {{\frac {6}{2}}}}}}}\end{vmatrix}}$$ = $${\begin{vmatrix}{0}&{2}&{0}\\{3}&{-2}&{8}\\{6}&{0}&{12}\end{vmatrix}}$$ = $${-{{{2}\cdot {{\begin{vmatrix}{3}&{8}\\{6}&{12}\end{vmatrix}}}}}}$$ = $${-{{{2}\cdot \left({{{{{3}\cdot {12}}}-{{{8}\cdot {6}}}}}\right)}}}$$ = $$24$$

$${{\overline{AB}}\cdot {\overline{AC}}\cdot {\overline{AD}}}$$ = $$24$$
Объем пирамиды $$V$$ = $${\frac {|{24}|}{6}}$$ = $$4$$

Найдем площадь основания
$$\overline{BC}$$ = $$\lbrace{{{4}-{1}}}, {{{0}-{4}}}, {{{-3}-{1}}}\rbrace$$ = $$\lbrace{3}, {-4}, {-4}\rbrace$$
$$\overline{BD}$$ = $$\lbrace{{{7}-{1}}}, {{{2}-{4}}}, {{{7}-{1}}}\rbrace$$ = $$\lbrace{6}, {-2}, {6}\rbrace$$

Найдем векторное произведение векторов.

Теоретический материал

$${{\overline{BC}}\times {\overline{BD}}}$$ = $${\begin{vmatrix}{\overline{i}}&{\overline{j}}&{\overline{k}}\\{{BC}_{{x} }}&{{BC}_{{y} }}&{{BC}_{{z} }}\\{{BD}_{{x} }}&{{BD}_{{y} }}&{{BD}_{{z} }}\end{vmatrix}}$$ = $${\begin{vmatrix}{\overline{i}}&{\overline{j}}&{\overline{k}}\\{3}&{-4}&{-4}\\{6}&{-2}&{6}\end{vmatrix}}$$ = $${{{{{{\overline{i}}\cdot \left({{{{{-4}\cdot {6}}}-\left({{{-4}\cdot \left({-2}\right)}}\right)}}\right)}}-{{{\overline{j}}\cdot \left({{{{{3}\cdot {6}}}-\left({{{-4}\cdot {6}}}\right)}}\right)}}}}+{{{\overline{k}}\cdot \left({{{{{3}\cdot \left({-2}\right)}}-\left({{{-4}\cdot {6}}}\right)}}\right)}}}$$ = $$-32\overline{i}+42\overline{j}+18\overline{k}$$
Найдем модуль вектора.

$${|-32\overline{i}+42\overline{j}+18\overline{k}|}$$ = $${\sqrt{{{{{{{{BCBD}_{{x} }}^{2}}}+{{{{BCBD}_{{y} }}^{2}}}}}+{{{{BCBD}_{{z} }}^{2}}}}}}$$ = $${\sqrt{{{{{{\left({-32}\right)^{2}}}+{{{42}^{2}}}}}+{{{18}^{2}}}}}}$$ = $$\sqrt{3112}$$
Площадь треугольника $$S$$ = $${\frac {\sqrt{3112}}{2}}$$ = $$\frac{1}{2} \sqrt{3112}$$

Т.к. $${{V}={{\frac {{{S}\cdot {h}}}{3}}}}$$ то длина высоты $$h$$ = $${\frac {{{3}\cdot {V}}}{S}}$$ = $$\frac{3}{389} \sqrt{3112}$$

Ответ:

Объем пирамиды: $${{V}={4}}$$ ; Длина высоты: $${{h}={\frac{3}{389} \sqrt{3112}}}$$

Решить вашу задачу

Задача 19169 Найти объем пирамиды ABCD с вершинами в

Задание:

Вычислить объем пирамиды и длину высоты, опущенную с вершины A пирамиды, образованной точками:
$$A\left({1}, {2}, {-5}\right)$$ ; &nbsp&nbsp&nbsp&nbsp $$B\left({1}, {4}, {1}\right)$$ ; &nbsp&nbsp&nbsp&nbsp $$C\left({4}, {0}, {-3}\right)$$ ; &nbsp&nbsp&nbsp&nbsp $$D\left({7}, {2}, {7}\right)$$ ;

Решение:

Для нахождения высоты пирамиды, необходимо знать ее объем и площадь основания

Найдем объем пирамиды
$$\overline{AB}$$ = $$\lbrace{{{1}-{1}}}, {{{4}-{2}}}, {{{1}-\left({-5}\right)}}\rbrace$$ = $$\lbrace{0}, {2}, {6}\rbrace$$
$$\overline{AC}$$ = $$\lbrace{{{4}-{1}}}, {{{0}-{2}}}, {{{-3}-\left({-5}\right)}}\rbrace$$ = $$\lbrace{3}, {-2}, {2}\rbrace$$
$$\overline{AD}$$ = $$\lbrace{{{7}-{1}}}, {{{2}-{2}}}, {{{7}-\left({-5}\right)}}\rbrace$$ = $$\lbrace{6}, {0}, {12}\rbrace$$

Найдем смешанное произведение векторов.
$${{\overline{AB}}\cdot {\overline{AC}}\cdot {\overline{AD}}}$$ = $${\begin{vmatrix}{{AB}_{{x} }}&{{AB}_{{y} }}&{{AB}_{{z} }}\\{{AC}_{{x} }}&{{AC}_{{y} }}&{{AC}_{{z} }}\\{{AD}_{{x} }}&{{AD}_{{y} }}&{{AD}_{{z} }}\end{vmatrix}}$$ = $${\begin{vmatrix}{0}&{2}&{6}\\{3}&{-2}&{2}\\{6}&{0}&{12}\end{vmatrix}}$$

$${\begin{vmatrix}{0}&{2}&{6}\\{3}&{-2}&{2}\\{6}&{0}&{12}\end{vmatrix}}$$ = $${\begin{vmatrix}{{{0}-{{{2}\cdot {{\frac {0}{2}}}}}}}&{2}&{{{6}-{{{2}\cdot {{\frac {6}{2}}}}}}}\\{{{3}-\left({{{-2}\cdot {{\frac {0}{2}}}}}\right)}}&{-2}&{{{2}-\left({{{-2}\cdot {{\frac {6}{2}}}}}\right)}}\\{{{6}-{{{0}\cdot {{\frac {0}{2}}}}}}}&{0}&{{{12}-{{{0}\cdot {{\frac {6}{2}}}}}}}\end{vmatrix}}$$ = $${\begin{vmatrix}{0}&{2}&{0}\\{3}&{-2}&{8}\\{6}&{0}&{12}\end{vmatrix}}$$ = $${-{{{2}\cdot {{\begin{vmatrix}{3}&{8}\\{6}&{12}\end{vmatrix}}}}}}$$ = $${-{{{2}\cdot \left({{{{{3}\cdot {12}}}-{{{8}\cdot {6}}}}}\right)}}}$$ = $$24$$

$${{\overline{AB}}\cdot {\overline{AC}}\cdot {\overline{AD}}}$$ = $$24$$
Объем пирамиды $$V$$ = $${\frac {|{24}|}{6}}$$ = $$4$$

Найдем площадь основания
$$\overline{BC}$$ = $$\lbrace{{{4}-{1}}}, {{{0}-{4}}}, {{{-3}-{1}}}\rbrace$$ = $$\lbrace{3}, {-4}, {-4}\rbrace$$
$$\overline{BD}$$ = $$\lbrace{{{7}-{1}}}, {{{2}-{4}}}, {{{7}-{1}}}\rbrace$$ = $$\lbrace{6}, {-2}, {6}\rbrace$$

Найдем векторное произведение векторов.
$${{\overline{BC}}\times {\overline{BD}}}$$ = $${\begin{vmatrix}{\overline{i}}&{\overline{j}}&{\overline{k}}\\{{BC}_{{x} }}&{{BC}_{{y} }}&{{BC}_{{z} }}\\{{BD}_{{x} }}&{{BD}_{{y} }}&{{BD}_{{z} }}\end{vmatrix}}$$ = $${\begin{vmatrix}{\overline{i}}&{\overline{j}}&{\overline{k}}\\{3}&{-4}&{-4}\\{6}&{-2}&{6}\end{vmatrix}}$$ = $${{{{{{\overline{i}}\cdot \left({{{{{-4}\cdot {6}}}-\left({{{-4}\cdot \left({-2}\right)}}\right)}}\right)}}-{{{\overline{j}}\cdot \left({{{{{3}\cdot {6}}}-\left({{{-4}\cdot {6}}}\right)}}\right)}}}}+{{{\overline{k}}\cdot \left({{{{{3}\cdot \left({-2}\right)}}-\left({{{-4}\cdot {6}}}\right)}}\right)}}}$$ = $$-32\overline{i}+42\overline{j}+18\overline{k}$$
Найдем модуль вектора.

$${|-32\overline{i}+42\overline{j}+18\overline{k}|}$$ = $${\sqrt{{{{{{{{BCBD}_{{x} }}^{2}}}+{{{{BCBD}_{{y} }}^{2}}}}}+{{{{BCBD}_{{z} }}^{2}}}}}}$$ = $${\sqrt{{{{{{\left({-32}\right)^{2}}}+{{{42}^{2}}}}}+{{{18}^{2}}}}}}$$ = $$\sqrt{3112}$$
Площадь треугольника $$S$$ = $${\frac {\sqrt{3112}}{2}}$$ = $$\frac{1}{2} \sqrt{3112}$$

Т.к. $${{V}={{\frac {{{S}\cdot {h}}}{3}}}}$$ то длина высоты $$h$$ = $${\frac {{{3}\cdot {V}}}{S}}$$ = $$\frac{3}{389} \sqrt{3112}$$

Ответ:

Объем пирамиды: $${{V}={4}}$$ ; Длина высоты: $${{h}={\frac{3}{389} \sqrt{3112}}}$$

Решить вашу задачу

Задание:

Вычислить объем пирамиды и длину высоты, опущенную с вершины A пирамиды, образованной точками:
$$A\left({1}, {2}, {-5}\right)$$ ; &nbsp&nbsp&nbsp&nbsp $$B\left({1}, {4}, {1}\right)$$ ; &nbsp&nbsp&nbsp&nbsp $$C\left({4}, {0}, {-3}\right)$$ ; &nbsp&nbsp&nbsp&nbsp $$D\left({7}, {2}, {7}\right)$$ ;

Решение:

Для нахождения высоты пирамиды, необходимо знать ее объем и площадь основания

Найдем объем пирамиды
$$\overline{AB}$$ = $$\lbrace{{{1}-{1}}}, {{{4}-{2}}}, {{{1}-\left({-5}\right)}}\rbrace$$ = $$\lbrace{0}, {2}, {6}\rbrace$$
$$\overline{AC}$$ = $$\lbrace{{{4}-{1}}}, {{{0}-{2}}}, {{{-3}-\left({-5}\right)}}\rbrace$$ = $$\lbrace{3}, {-2}, {2}\rbrace$$
$$\overline{AD}$$ = $$\lbrace{{{7}-{1}}}, {{{2}-{2}}}, {{{7}-\left({-5}\right)}}\rbrace$$ = $$\lbrace{6}, {0}, {12}\rbrace$$

Найдем смешанное произведение векторов.

Найти высоту пирамиды онлайн

$${{\overline{AB}}\cdot {\overline{AC}}\cdot {\overline{AD}}}$$ = $${\begin{vmatrix}{{AB}_{{x} }}&{{AB}_{{y} }}&{{AB}_{{z} }}\\{{AC}_{{x} }}&{{AC}_{{y} }}&{{AC}_{{z} }}\\{{AD}_{{x} }}&{{AD}_{{y} }}&{{AD}_{{z} }}\end{vmatrix}}$$ = $${\begin{vmatrix}{0}&{2}&{6}\\{3}&{-2}&{2}\\{6}&{0}&{12}\end{vmatrix}}$$

$${\begin{vmatrix}{0}&{2}&{6}\\{3}&{-2}&{2}\\{6}&{0}&{12}\end{vmatrix}}$$ = $${\begin{vmatrix}{{{0}-{{{2}\cdot {{\frac {0}{2}}}}}}}&{2}&{{{6}-{{{2}\cdot {{\frac {6}{2}}}}}}}\\{{{3}-\left({{{-2}\cdot {{\frac {0}{2}}}}}\right)}}&{-2}&{{{2}-\left({{{-2}\cdot {{\frac {6}{2}}}}}\right)}}\\{{{6}-{{{0}\cdot {{\frac {0}{2}}}}}}}&{0}&{{{12}-{{{0}\cdot {{\frac {6}{2}}}}}}}\end{vmatrix}}$$ = $${\begin{vmatrix}{0}&{2}&{0}\\{3}&{-2}&{8}\\{6}&{0}&{12}\end{vmatrix}}$$ = $${-{{{2}\cdot {{\begin{vmatrix}{3}&{8}\\{6}&{12}\end{vmatrix}}}}}}$$ = $${-{{{2}\cdot \left({{{{{3}\cdot {12}}}-{{{8}\cdot {6}}}}}\right)}}}$$ = $$24$$

$${{\overline{AB}}\cdot {\overline{AC}}\cdot {\overline{AD}}}$$ = $$24$$
Объем пирамиды $$V$$ = $${\frac {|{24}|}{6}}$$ = $$4$$

Найдем площадь основания
$$\overline{BC}$$ = $$\lbrace{{{4}-{1}}}, {{{0}-{4}}}, {{{-3}-{1}}}\rbrace$$ = $$\lbrace{3}, {-4}, {-4}\rbrace$$
$$\overline{BD}$$ = $$\lbrace{{{7}-{1}}}, {{{2}-{4}}}, {{{7}-{1}}}\rbrace$$ = $$\lbrace{6}, {-2}, {6}\rbrace$$

Найдем векторное произведение векторов.
$${{\overline{BC}}\times {\overline{BD}}}$$ = $${\begin{vmatrix}{\overline{i}}&{\overline{j}}&{\overline{k}}\\{{BC}_{{x} }}&{{BC}_{{y} }}&{{BC}_{{z} }}\\{{BD}_{{x} }}&{{BD}_{{y} }}&{{BD}_{{z} }}\end{vmatrix}}$$ = $${\begin{vmatrix}{\overline{i}}&{\overline{j}}&{\overline{k}}\\{3}&{-4}&{-4}\\{6}&{-2}&{6}\end{vmatrix}}$$ = $${{{{{{\overline{i}}\cdot \left({{{{{-4}\cdot {6}}}-\left({{{-4}\cdot \left({-2}\right)}}\right)}}\right)}}-{{{\overline{j}}\cdot \left({{{{{3}\cdot {6}}}-\left({{{-4}\cdot {6}}}\right)}}\right)}}}}+{{{\overline{k}}\cdot \left({{{{{3}\cdot \left({-2}\right)}}-\left({{{-4}\cdot {6}}}\right)}}\right)}}}$$ = $$-32\overline{i}+42\overline{j}+18\overline{k}$$
Найдем модуль вектора.

$${|-32\overline{i}+42\overline{j}+18\overline{k}|}$$ = $${\sqrt{{{{{{{{BCBD}_{{x} }}^{2}}}+{{{{BCBD}_{{y} }}^{2}}}}}+{{{{BCBD}_{{z} }}^{2}}}}}}$$ = $${\sqrt{{{{{{\left({-32}\right)^{2}}}+{{{42}^{2}}}}}+{{{18}^{2}}}}}}$$ = $$\sqrt{3112}$$
Площадь треугольника $$S$$ = $${\frac {\sqrt{3112}}{2}}$$ = $$\frac{1}{2} \sqrt{3112}$$

Т.к. $${{V}={{\frac {{{S}\cdot {h}}}{3}}}}$$ то длина высоты $$h$$ = $${\frac {{{3}\cdot {V}}}{S}}$$ = $$\frac{3}{389} \sqrt{3112}$$

Ответ:

Объем пирамиды: $${{V}={4}}$$ ; Длина высоты: $${{h}={\frac{3}{389} \sqrt{3112}}}$$

Решить вашу задачу

  1. Даны координаты вершин пирамиды A1A2A3A4. Найти: 
  2. 1) длину ребра А1А2
  3. 2) угол между ребрами А1А2 и А1А4
  4. 3) угол между ребром А1А4 и гранью А1А2А3
  5. 4) площадь грани А1А2А3;     
  6. 5) объём пирамиды;
  7. 6) уравнения прямой А1А2;
  8. 7) уравнение плоскости А1А2А3
  9. 8) уравнения высоты, опущенной из вершины А4 на грань А1А2А3.

Сделать чертёж.
А1(2,4,3),   А2(7,6,3),   А3(4,9,3),   А4(3,6,7).

  1.  

Решение:

  1. найдём координаты и длину вектора:

= (5,2,0),

  1. найдем угол между ребрами А1А2 и А1А4.


Для этого найдём координаты и длину вектора :
= (1,2,4),
Векторное произведение векторов:  и :

  1. угол между ребром А1А4 и гранью А1А2А3

найдем каноническое уравнение  ребра А1А4
,

 – каноническое уравнение  ребра А1А4
Найдем уравнение плоскости, проходящей через точки
А1(2,4,3),   А2(7,6,3),   А3(4,9,3):



уравнение плоскости, проходящей через точки А1, А2, А3:

Синус угла между ребром А1А4 и гранью А1А2А3


  1. площадь грани А1А2А3;

Грань А1А2А3 – это треугольник, площадь которого равна ? площади параллелограмма, построенного на векторах  и
= (5,2,0),
= (2,5,0),
Векторное произведение векторов:

  1. Находим площадь треугольника А1А2А3
  2.  
  3. 5) объём пирамиды;
  4.  
  5. = (5,2,0),

 = (2,5,0),
= (1,2,4),
Смешанное произведение векторов:

  1. объём пирамиды
  2. 6) уравнения прямой А1А2;
  3. а). Как пересечение двух плоскостей А1А2А3 и А1А2А4:

уравнение плоскости, проходящей через точки А1, А2, А3:

Найдем уравнение плоскости, проходящей через точки
А1(2,4,3),   А2(7,6,3),   А4(3,6,7):



уравнение плоскости, проходящей через точки А1, А2, А4:

  1. Общие уравнения прямой А1А2:
  2.  
  3. б).

    Как найти объем пирамиды, если даны координаты вершин

    каноническое уравнение прямой А1А2:

,

 – каноническое уравнение  ребра А1А2

  1.  
  2. с). параметрическое уравнение прямой А1А2:
  3. 7) уравнение плоскости А1А2А3
  4.  

А1(2,4,3),   А2(7,6,3),   А3(4,9,3):


уравнение плоскости, проходящей через точки А1, А2, А3:

  1.  
  2.  
  3. 8) уравнения высоты, опущенной из вершины А4 на грань А1А2А3.

уравнение плоскости, проходящей через точки А1, А2, А3:

Нормальный вектор данной плоскости

Уравнение высоты А4Н, опущенной из т. А4(3,6,7) на плоскость А1А2А3, имеет вид:

Найдем координаты т.Н: 
Решая параметрическое уравнение прямой А4Н 
и уравнение плоскости А1А2А3: , имеем: , отсюда координаты т.Н:

 

Онлайн калькулятор. Объем пирамиды (объем тетраэдра) построенной на векторах.

Задание:

Вычислить объем пирамиды и длину высоты, опущенную с вершины A пирамиды, образованной точками:
$$A\left({1}, {2}, {-5}\right)$$ ; &nbsp&nbsp&nbsp&nbsp $$B\left({1}, {4}, {1}\right)$$ ; &nbsp&nbsp&nbsp&nbsp $$C\left({4}, {0}, {-3}\right)$$ ; &nbsp&nbsp&nbsp&nbsp $$D\left({7}, {2}, {7}\right)$$ ;

Решение:

Для нахождения высоты пирамиды, необходимо знать ее объем и площадь основания

Найдем объем пирамиды
$$\overline{AB}$$ = $$\lbrace{{{1}-{1}}}, {{{4}-{2}}}, {{{1}-\left({-5}\right)}}\rbrace$$ = $$\lbrace{0}, {2}, {6}\rbrace$$
$$\overline{AC}$$ = $$\lbrace{{{4}-{1}}}, {{{0}-{2}}}, {{{-3}-\left({-5}\right)}}\rbrace$$ = $$\lbrace{3}, {-2}, {2}\rbrace$$
$$\overline{AD}$$ = $$\lbrace{{{7}-{1}}}, {{{2}-{2}}}, {{{7}-\left({-5}\right)}}\rbrace$$ = $$\lbrace{6}, {0}, {12}\rbrace$$

Найдем смешанное произведение векторов.
$${{\overline{AB}}\cdot {\overline{AC}}\cdot {\overline{AD}}}$$ = $${\begin{vmatrix}{{AB}_{{x} }}&{{AB}_{{y} }}&{{AB}_{{z} }}\\{{AC}_{{x} }}&{{AC}_{{y} }}&{{AC}_{{z} }}\\{{AD}_{{x} }}&{{AD}_{{y} }}&{{AD}_{{z} }}\end{vmatrix}}$$ = $${\begin{vmatrix}{0}&{2}&{6}\\{3}&{-2}&{2}\\{6}&{0}&{12}\end{vmatrix}}$$

$${\begin{vmatrix}{0}&{2}&{6}\\{3}&{-2}&{2}\\{6}&{0}&{12}\end{vmatrix}}$$ = $${\begin{vmatrix}{{{0}-{{{2}\cdot {{\frac {0}{2}}}}}}}&{2}&{{{6}-{{{2}\cdot {{\frac {6}{2}}}}}}}\\{{{3}-\left({{{-2}\cdot {{\frac {0}{2}}}}}\right)}}&{-2}&{{{2}-\left({{{-2}\cdot {{\frac {6}{2}}}}}\right)}}\\{{{6}-{{{0}\cdot {{\frac {0}{2}}}}}}}&{0}&{{{12}-{{{0}\cdot {{\frac {6}{2}}}}}}}\end{vmatrix}}$$ = $${\begin{vmatrix}{0}&{2}&{0}\\{3}&{-2}&{8}\\{6}&{0}&{12}\end{vmatrix}}$$ = $${-{{{2}\cdot {{\begin{vmatrix}{3}&{8}\\{6}&{12}\end{vmatrix}}}}}}$$ = $${-{{{2}\cdot \left({{{{{3}\cdot {12}}}-{{{8}\cdot {6}}}}}\right)}}}$$ = $$24$$

$${{\overline{AB}}\cdot {\overline{AC}}\cdot {\overline{AD}}}$$ = $$24$$
Объем пирамиды $$V$$ = $${\frac {|{24}|}{6}}$$ = $$4$$

Найдем площадь основания
$$\overline{BC}$$ = $$\lbrace{{{4}-{1}}}, {{{0}-{4}}}, {{{-3}-{1}}}\rbrace$$ = $$\lbrace{3}, {-4}, {-4}\rbrace$$
$$\overline{BD}$$ = $$\lbrace{{{7}-{1}}}, {{{2}-{4}}}, {{{7}-{1}}}\rbrace$$ = $$\lbrace{6}, {-2}, {6}\rbrace$$

Найдем векторное произведение векторов.
$${{\overline{BC}}\times {\overline{BD}}}$$ = $${\begin{vmatrix}{\overline{i}}&{\overline{j}}&{\overline{k}}\\{{BC}_{{x} }}&{{BC}_{{y} }}&{{BC}_{{z} }}\\{{BD}_{{x} }}&{{BD}_{{y} }}&{{BD}_{{z} }}\end{vmatrix}}$$ = $${\begin{vmatrix}{\overline{i}}&{\overline{j}}&{\overline{k}}\\{3}&{-4}&{-4}\\{6}&{-2}&{6}\end{vmatrix}}$$ = $${{{{{{\overline{i}}\cdot \left({{{{{-4}\cdot {6}}}-\left({{{-4}\cdot \left({-2}\right)}}\right)}}\right)}}-{{{\overline{j}}\cdot \left({{{{{3}\cdot {6}}}-\left({{{-4}\cdot {6}}}\right)}}\right)}}}}+{{{\overline{k}}\cdot \left({{{{{3}\cdot \left({-2}\right)}}-\left({{{-4}\cdot {6}}}\right)}}\right)}}}$$ = $$-32\overline{i}+42\overline{j}+18\overline{k}$$
Найдем модуль вектора.

$${|-32\overline{i}+42\overline{j}+18\overline{k}|}$$ = $${\sqrt{{{{{{{{BCBD}_{{x} }}^{2}}}+{{{{BCBD}_{{y} }}^{2}}}}}+{{{{BCBD}_{{z} }}^{2}}}}}}$$ = $${\sqrt{{{{{{\left({-32}\right)^{2}}}+{{{42}^{2}}}}}+{{{18}^{2}}}}}}$$ = $$\sqrt{3112}$$
Площадь треугольника $$S$$ = $${\frac {\sqrt{3112}}{2}}$$ = $$\frac{1}{2} \sqrt{3112}$$

Т.к. $${{V}={{\frac {{{S}\cdot {h}}}{3}}}}$$ то длина высоты $$h$$ = $${\frac {{{3}\cdot {V}}}{S}}$$ = $$\frac{3}{389} \sqrt{3112}$$

Ответ:

Объем пирамиды: $${{V}={4}}$$ ; Длина высоты: $${{h}={\frac{3}{389} \sqrt{3112}}}$$

Решить вашу задачу

Решение задач по математике онлайн

Задание:

Вычислить объем пирамиды и длину высоты, опущенную с вершины A пирамиды, образованной точками:
$$A\left({1}, {2}, {-5}\right)$$ ; &nbsp&nbsp&nbsp&nbsp $$B\left({1}, {4}, {1}\right)$$ ; &nbsp&nbsp&nbsp&nbsp $$C\left({4}, {0}, {-3}\right)$$ ; &nbsp&nbsp&nbsp&nbsp $$D\left({7}, {2}, {7}\right)$$ ;

Решение:

Для нахождения высоты пирамиды, необходимо знать ее объем и площадь основания

Найдем объем пирамиды
$$\overline{AB}$$ = $$\lbrace{{{1}-{1}}}, {{{4}-{2}}}, {{{1}-\left({-5}\right)}}\rbrace$$ = $$\lbrace{0}, {2}, {6}\rbrace$$
$$\overline{AC}$$ = $$\lbrace{{{4}-{1}}}, {{{0}-{2}}}, {{{-3}-\left({-5}\right)}}\rbrace$$ = $$\lbrace{3}, {-2}, {2}\rbrace$$
$$\overline{AD}$$ = $$\lbrace{{{7}-{1}}}, {{{2}-{2}}}, {{{7}-\left({-5}\right)}}\rbrace$$ = $$\lbrace{6}, {0}, {12}\rbrace$$

Найдем смешанное произведение векторов.
$${{\overline{AB}}\cdot {\overline{AC}}\cdot {\overline{AD}}}$$ = $${\begin{vmatrix}{{AB}_{{x} }}&{{AB}_{{y} }}&{{AB}_{{z} }}\\{{AC}_{{x} }}&{{AC}_{{y} }}&{{AC}_{{z} }}\\{{AD}_{{x} }}&{{AD}_{{y} }}&{{AD}_{{z} }}\end{vmatrix}}$$ = $${\begin{vmatrix}{0}&{2}&{6}\\{3}&{-2}&{2}\\{6}&{0}&{12}\end{vmatrix}}$$

$${\begin{vmatrix}{0}&{2}&{6}\\{3}&{-2}&{2}\\{6}&{0}&{12}\end{vmatrix}}$$ = $${\begin{vmatrix}{{{0}-{{{2}\cdot {{\frac {0}{2}}}}}}}&{2}&{{{6}-{{{2}\cdot {{\frac {6}{2}}}}}}}\\{{{3}-\left({{{-2}\cdot {{\frac {0}{2}}}}}\right)}}&{-2}&{{{2}-\left({{{-2}\cdot {{\frac {6}{2}}}}}\right)}}\\{{{6}-{{{0}\cdot {{\frac {0}{2}}}}}}}&{0}&{{{12}-{{{0}\cdot {{\frac {6}{2}}}}}}}\end{vmatrix}}$$ = $${\begin{vmatrix}{0}&{2}&{0}\\{3}&{-2}&{8}\\{6}&{0}&{12}\end{vmatrix}}$$ = $${-{{{2}\cdot {{\begin{vmatrix}{3}&{8}\\{6}&{12}\end{vmatrix}}}}}}$$ = $${-{{{2}\cdot \left({{{{{3}\cdot {12}}}-{{{8}\cdot {6}}}}}\right)}}}$$ = $$24$$

$${{\overline{AB}}\cdot {\overline{AC}}\cdot {\overline{AD}}}$$ = $$24$$
Объем пирамиды $$V$$ = $${\frac {|{24}|}{6}}$$ = $$4$$

Найдем площадь основания
$$\overline{BC}$$ = $$\lbrace{{{4}-{1}}}, {{{0}-{4}}}, {{{-3}-{1}}}\rbrace$$ = $$\lbrace{3}, {-4}, {-4}\rbrace$$
$$\overline{BD}$$ = $$\lbrace{{{7}-{1}}}, {{{2}-{4}}}, {{{7}-{1}}}\rbrace$$ = $$\lbrace{6}, {-2}, {6}\rbrace$$

Найдем векторное произведение векторов.
$${{\overline{BC}}\times {\overline{BD}}}$$ = $${\begin{vmatrix}{\overline{i}}&{\overline{j}}&{\overline{k}}\\{{BC}_{{x} }}&{{BC}_{{y} }}&{{BC}_{{z} }}\\{{BD}_{{x} }}&{{BD}_{{y} }}&{{BD}_{{z} }}\end{vmatrix}}$$ = $${\begin{vmatrix}{\overline{i}}&{\overline{j}}&{\overline{k}}\\{3}&{-4}&{-4}\\{6}&{-2}&{6}\end{vmatrix}}$$ = $${{{{{{\overline{i}}\cdot \left({{{{{-4}\cdot {6}}}-\left({{{-4}\cdot \left({-2}\right)}}\right)}}\right)}}-{{{\overline{j}}\cdot \left({{{{{3}\cdot {6}}}-\left({{{-4}\cdot {6}}}\right)}}\right)}}}}+{{{\overline{k}}\cdot \left({{{{{3}\cdot \left({-2}\right)}}-\left({{{-4}\cdot {6}}}\right)}}\right)}}}$$ = $$-32\overline{i}+42\overline{j}+18\overline{k}$$
Найдем модуль вектора.

$${|-32\overline{i}+42\overline{j}+18\overline{k}|}$$ = $${\sqrt{{{{{{{{BCBD}_{{x} }}^{2}}}+{{{{BCBD}_{{y} }}^{2}}}}}+{{{{BCBD}_{{z} }}^{2}}}}}}$$ = $${\sqrt{{{{{{\left({-32}\right)^{2}}}+{{{42}^{2}}}}}+{{{18}^{2}}}}}}$$ = $$\sqrt{3112}$$
Площадь треугольника $$S$$ = $${\frac {\sqrt{3112}}{2}}$$ = $$\frac{1}{2} \sqrt{3112}$$

Т.к. $${{V}={{\frac {{{S}\cdot {h}}}{3}}}}$$ то длина высоты $$h$$ = $${\frac {{{3}\cdot {V}}}{S}}$$ = $$\frac{3}{389} \sqrt{3112}$$

Ответ:

Объем пирамиды: $${{V}={4}}$$ ; Длина высоты: $${{h}={\frac{3}{389} \sqrt{3112}}}$$

Решить вашу задачу

admin