Площадь фигуры ограниченной графиками

Площадь фигуры ограниченной графиками

Содержание

По плану исследовать функцию и построить её график: область определения, точки разрыва, корни уравнения, точки перегиба. Решить систему методом Гаусса: расширенная матрица. Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиками функций. Вычислите интеграл.

Нажав на кнопку "Скачать архив", вы скачаете нужный вам файл совершенно бесплатно.
Перед скачиванием данного файла вспомните о тех хороших рефератах, контрольных, курсовых, дипломных работах, статьях и других документах, которые лежат невостребованными в вашем компьютере. Это ваш труд, он должен участвовать в развитии общества и приносить пользу людям. Найдите эти работы и отправьте в базу знаний.
Мы и все студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будем вам очень благодарны.

Чтобы скачать архив с документом, в поле, расположенное ниже, впишите пятизначное число и нажмите кнопку "Скачать архив"

  • Дифференциальные и интегральные исчисления

    Поиск площади фигуры, ограниченной графиками функций с помощью двойного интеграла. Получение вращением объема тела вокруг оси ОХ фигуры, ограниченной указанными линиями. Пределы интегрирования в двойном интеграле по области, ограниченной линиями.

    контрольная работа , добавлен 28.03.2014

  • Высшая математика

    Вычисление пределов функций, производных функций с построением графика. Вычисление определенных интегралов, площади фигуры, ограниченной графиками функций. Общее решение дифференциального уравнения, его частные решения. Исследование сходимости ряда.

    контрольная работа , добавлен 17.07.2008

  • Решение дифференциальных уравнений

    Вычисление и исследование предела и производной функции, построение графиков. Вычисление неопределенных интегралов, площади фигуры, ограниченной графиками функций. Нахождение решения дифференциального уравнения и построение графиков частных решений.

    контрольная работа , добавлен 19.01.2010

  • Математический анализ

    Производные функций, заданных в явном и неявном виде. Исследование функций методами дифференциального исчисления. Точки перегиба и экстремума, градиент функции. Объем тела, образованного вращением фигуры и ограниченной графиками функций, вокруг оси.

    контрольная работа , добавлен 11.07.2013

  • Контрольная работа по математике

    Вычисление предела функции, не используя правило Лопиталя. Нахождение производной функции и построение ее графика. Исследование неопределенных интегралов и выполнение проверки дифференцированием. Вычисление площади фигуры, ограниченной графиками функций.

    контрольная работа , добавлен 25.03.2014

  • Кратные криволинейные и поверхностные интегралы. Теория поля

    Вычисление площади фигуры, ограниченной заданными линиями, с помощью двойного интеграла. Расчет двойного интеграла, перейдя к полярным координатам. Методика определения криволинейного интеграла второго рода вдоль заданной линии и потока векторного поля.

    контрольная работа , добавлен 14.12.2012

  • Определение функции

    Уравнение стороны треугольника и ее угловой коэффициент. Координаты точки пересечения медиан. Уравнение прямой, проходящей через точки. Область определения функции. Поиск производной и предела функции. Площадь фигуры, ограниченной заданными линиями.

    контрольная работа , добавлен 12.05.2012

  • Решение систем

    Вычисление производной функции. Угловой коэффициент прямой. Интервалы монотонности, точки экстремума и перегиба функции. Вычисление интегралов с помощью универсальной тригонометрической подстановки.

    Площадь фигуры, ограниченной линиями

    Нахождение площади фигуры, ограниченной линиями.

    контрольная работа , добавлен 05.01.2013

  • Исчисление физических величин с помощью интегрирования

    Разложение функции в ряд Фурье, поиск коэффициентов. Изменение порядка интегрирования, его предел. Расчет площади фигуры, ограниченной графиками функций, с помощью двойного интеграла, объема тела, ограниченного поверхностями, с помощью тройного интеграла.

    контрольная работа , добавлен 28.03.2014

  • Производные и дифференциалы высших порядков

    Вычисление пределов функций. Нахождение производные заданных функций, решение неопределенных интегралов. Исследование функции и построение ее графика. Особенности вычисления площади фигуры, ограниченной линиями с использованием определенного интеграла.

    контрольная работа , добавлен 01.03.2011

  • ВВЕРХ

    1. Площадь криволинейной трапеции в декартовой системе координат.
    2. Площадь криволинейного сектора, ограниченной линией, заданной в параметрической форме.
    3. Площадь криволинейного сектора в полярной системе координат.
    4. Длина дуги кривой, заданной в декартовой системе координат.
    5. Длина линии, заданной параметрически.
    6. Вопросы для самопроверки.

    Площадь криволинейной трапеции в декартовой системе координат.

        Пусть на плоскости Оху дана фигура, ограниченная отрезком оси Ох, прямыми х = а, х = b и графиком непрерывной и неотрицательной функции y = f ( x) на . Такую фигуру называют криволинейной трапецией и площадь её можно вычислить по формуле
    Доказательство. Разобьем отрезок на n частей точками а = х0 < x1 < x2 <&#133; < xi — 1< xi < &#133; < xn = b, выберем на каждом частичном отрезке , i = 1, 2. &#133; n, произвольно точку ξ i (xi — 1 ≤ ξ ixi) и рассмотрим ступенчатую фигуру. Ее площадь приближенно равна площади S криволинейной трапеции:

    где Δ xi = xixi — 1. Так как функция f (x) непрерывна , то предел полученной интегральной суммы существует при и площадь S криволинейной трапеции численно равна определенному интегралу от функции f (x) на :

       Пример 1. Найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции y = xα, α > 0 , прямой х = 1 и осью Ох.
       Решение. По формуле имеем

             Пусть на отрезке заданы две непрерывные функции y1 = f1(x) и y2 = f2(x), причем при всех значениях х из этого отрезка y1 ≤ y2. Найдем площадь фигуры, ограниченной графиками этих функций, а также прямыми х = а и х = b.
       Если обе функции неотрицательны, то площадь данной фигуры равна разности площадей криволинейных трапеций, ограниченных соответственно графиками функций y2 = f2(x), y1 = f1(x), прямыми х = а и х = b и осью абсцисс. Следовательно, площадь S данной фигуры можно найти так

       Пример 2. Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций y1 = f1(x) = x и y2 = f2(x) = 2 − x2. (смотри рисунок.)
       Решение. На рисунке видно, что пределами интегрирования являются абсциссы точек пересечения графиков данных функций. Для нахождения пределов интегрирования решим систему уравнений

    В результате получаем х1 = − 2, х2 =1 и находим искомую площадь

       Пример 3. Найти площадь, заключенную между параболой у = х2 − 2·х + 2, касательной к ней в точке (3; 5) и осью Оу.
        Решение. Уравнение касательной к кривой f(x) = x2 − 2· x +2 в точке (3; 5) имеет вид y − 5 = f ‘ (3)·(x − 3). Поскольку f ‘ (x) = 2·x − 2 и f ‘ (3) = 2·3 − 2 = 4, получаем уравнение касательной у − 5 = 4· (х − 3), или у = 4·х − 7. Так как ветви параболы направлены вверх, то парабола лежит над касательной, т.е. х2 − 2·х + 2 ≥ 4·х − 7  на отрезке (смотри рисунок.)
       Находим искомую площадь

    Площадь криволинейного сектора ограниченной линией, заданной в параметрической форме.

       Пусть линия задана в параметрической форме
    При изменении параметра tÎ радиус–вектор описывает криволинейный сектор. (смотри рисунок.)
       Разобьём интервал на бесконечно малые отрезки α < t1 < t2 < &#133; < tn — 1 < tn = β. Площадь криволинейного сектора приближённо равна сумме площадей треугольников:
    .
    При этом
    .
    Выполняя предельный переход и учитывая вид интегральной суммы, получим
    .
    Знак ± выбирается исходя из необходимости получить положительный результат.    Пример 4.Найти площадь фигуры, ограниченной одной аркой циклоиды x = a·(t − sint), y = a·(1 − cost), 0 ≤ t ≤ 2·π и осью Ох. (смотри рисунок.)
       Решение. По формуле имеем

    Таким образом S = 3·π·a2.

    Площадь криволинейного сектора в полярной системе координат

       Пусть кривая АВ задана в полярных координатах уравнением ρ = ρ (φ), α ≤ φ ≤ β причем функция ρ(φ) непрерывна и неотрицательна на отрезке .
       Плоскую фигуру, ограниченную кривой АВ и двумя полярными радиусами, составляющими с полярной осью углы α и β, будем называть криволинейным сектором. Площадь криволинейного сектора может быть вычислена по формуле
    Доказательство. Разобьем произвольно отрезок на n частей точками α = φ0 < φ1 < φ2 < &#133; < φi — 1 < φi < &#133; < φn = β Выберем на каждом частичном отрезке , i = 1, 2,&#133; , n, произвольно точку
    ξi ( φi−1 ≤ ξi ≤ φi )
    и построим круговые секторы с радиусами ρ (ξ i ). В результате получена веерообразная фигура, площадь которой будем считать приближенно равной площади криволинейного сектора:

    где Δ φ i = φ i − φ i — 1. (смотри рисунок.)
       Таким образом, получена интегральная сумма σ для интеграла. Так как функция ρ2 (φ) непрерывна на отрезке , то предел этой суммы существует при

    и площадь криволинейного сектора численно равна половине определенного интеграла от функции ρ2 (φ) на :

       Пример 5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной полярной осью и первым витком спирали Архимеда ρ = а·φ, где а – положительное число. (смотри рисунок.)
       Решение. При изменении φ от 0 до 2π полярный радиус опишет кривую, ограничивающую криволинейный сектор ОАВС. Поэтому имеем

    Заметим, что точка С отстоит от полюса на расстоянии ρ = 2·π·a. Поэтому круг радиуса ОС имеет площадь

    ,
    т.е. площадь фигуры, ограниченной полярной осью и первым витком спирали Архимеда, равна 1/3 площади круга с радиусом, равным наибольшему из полярных радиусов витка. К этому выводу пришел еще Архимед (смотри рисунок.).

    Длина дуги кривой, заданной в декартовой системе координат.

       Пусть плоская кривая АВ задана уравнением у = f ( x), axb, где f ( x) – непрерывная вместе со своей производной на отрезке функция. Разобьем кривую АВ на n произвольных частей точками А = М0, М1, М2, &#133; , Mi — 1, Mi, &#133;, Mn = B в направлении от А к В. Соединив эти точки хордами, получим некоторую вписанную ломанную линию, длину которой обозначим через Р. (смотри рисунок.)
       Обозначим через li длину одного звена Mi — 1Mi ломаной линии, а через μ — длину наибольшего из ее звеньев: .
       Определение. Число L называется пределом длин ломаных Р при μ → 0, если для любого как угодно малого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всякой ломаной, у которой μ < δ, выполняется неравенство | L − P | < ε.
       Если существует конечный предел L длин ломаных Р вписанных в кривую при μ → 0, то этот предел называется длиной дуги АВ:

    Если функция f ( x) непрерывна вместе с f ‘ (x) на отрезке , то длина дуги АВ выражается формулой

    Доказательство. Обозначим через xi и f ( xi) координаты точек Мi. Длина одного звена ломаной равна

    По формуле Лагранжа конечных приращений имеем
    ,
    Следовательно, , Δ xi = xi − xi − 1. Таким образом, длина ломаной равна
    .
    Так как функция непрерывна на , то предел суммы Р n при существует. Так как λ ≤ μ и λ → 0 при μ → 0, то
       Пример 6. Вычислить длину дуги полукубической параболы y = x3/2 от х = 0 до х = 5. (смотри рисунок.)
       Решение. Дифференцируя y = x3/2, находим . Следовательно, по выведенной формуле получим

    Длина линии, заданной параметрически.

       В случае, когда кривая АВ задана параметрически x = φ (t), y = ψ (t), α ≤ t ≤ β, где α и β — значения параметра t, соответствующие значениям х = а и х = b, т.е. а = φ (α), b = φ(β), в формуле
    надо сделать замену переменной, положив x = φ (t), dx = φ ‘ (tdt. Тогда получим

       Пример 7. Вычислить длину первого витка архимедовой спирали ρ = а·φ.
       Решение.

    Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком функции y=1-x^2.

    Формулу, по которой можно вычислить длину линии в полярной системе координат, можно получить из предыдущей формулы, если положить, что x = ρ(t)·cos t, у = ρ(t)·sin t. Попробуйте вывести формулу самостоятельно. Первый виток архимедовой спирали образуется при изменении полярного угла φ от 0 до 2π. (смотри рисунок.)
       Искомая длина дуги равна (смотри возвратный интеграл)

    Вопросы для самопроверки

    1. Что называется криволинейной трапецией?
    2. В чем заключается геометрический смысл определенного интеграла?
    3. По каким формулам можно вычислить площадь фигур: а) в прямоугольных координатах; б) в полярных координатах; в) в случае параметрического задания границы?
    4. 4. Какое свойство определённого интеграла отражает аддитивное свойство площади?
    5. Что называется длиной дуги кривой?
    6. По каким формулам вычисляется длина дуги кривой: а) в прямоугольных координатах; б) если линия задана параметрически; в) если линия задана в полярных координатах?
    7. Чему равен дифференциал дуги? В чем состоит геометрический смысл дифференциала дуги?

    По плану исследовать функцию и построить её график: область определения, точки разрыва, корни уравнения, точки перегиба. Решить систему методом Гаусса: расширенная матрица. Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиками функций. Вычислите интеграл.

    Нажав на кнопку "Скачать архив", вы скачаете нужный вам файл совершенно бесплатно.
    Перед скачиванием данного файла вспомните о тех хороших рефератах, контрольных, курсовых, дипломных работах, статьях и других документах, которые лежат невостребованными в вашем компьютере.

    задача Вычисление значений функции, системы, площади фигуры, интеграла

    Это ваш труд, он должен участвовать в развитии общества и приносить пользу людям. Найдите эти работы и отправьте в базу знаний.
    Мы и все студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будем вам очень благодарны.

    Чтобы скачать архив с документом, в поле, расположенное ниже, впишите пятизначное число и нажмите кнопку "Скачать архив"

  • Дифференциальные и интегральные исчисления

    Поиск площади фигуры, ограниченной графиками функций с помощью двойного интеграла. Получение вращением объема тела вокруг оси ОХ фигуры, ограниченной указанными линиями. Пределы интегрирования в двойном интеграле по области, ограниченной линиями.

    контрольная работа , добавлен 28.03.2014

  • Высшая математика

    Вычисление пределов функций, производных функций с построением графика. Вычисление определенных интегралов, площади фигуры, ограниченной графиками функций. Общее решение дифференциального уравнения, его частные решения. Исследование сходимости ряда.

    контрольная работа , добавлен 17.07.2008

  • Решение дифференциальных уравнений

    Вычисление и исследование предела и производной функции, построение графиков. Вычисление неопределенных интегралов, площади фигуры, ограниченной графиками функций. Нахождение решения дифференциального уравнения и построение графиков частных решений.

    контрольная работа , добавлен 19.01.2010

  • Математический анализ

    Производные функций, заданных в явном и неявном виде. Исследование функций методами дифференциального исчисления. Точки перегиба и экстремума, градиент функции. Объем тела, образованного вращением фигуры и ограниченной графиками функций, вокруг оси.

    контрольная работа , добавлен 11.07.2013

  • Контрольная работа по математике

    Вычисление предела функции, не используя правило Лопиталя. Нахождение производной функции и построение ее графика. Исследование неопределенных интегралов и выполнение проверки дифференцированием. Вычисление площади фигуры, ограниченной графиками функций.

    контрольная работа , добавлен 25.03.2014

  • Кратные криволинейные и поверхностные интегралы. Теория поля

    Вычисление площади фигуры, ограниченной заданными линиями, с помощью двойного интеграла. Расчет двойного интеграла, перейдя к полярным координатам. Методика определения криволинейного интеграла второго рода вдоль заданной линии и потока векторного поля.

    контрольная работа , добавлен 14.12.2012

  • Определение функции

    Уравнение стороны треугольника и ее угловой коэффициент. Координаты точки пересечения медиан. Уравнение прямой, проходящей через точки. Область определения функции. Поиск производной и предела функции. Площадь фигуры, ограниченной заданными линиями.

    контрольная работа , добавлен 12.05.2012

  • Решение систем

    Вычисление производной функции. Угловой коэффициент прямой. Интервалы монотонности, точки экстремума и перегиба функции. Вычисление интегралов с помощью универсальной тригонометрической подстановки. Нахождение площади фигуры, ограниченной линиями.

    контрольная работа , добавлен 05.01.2013

  • Исчисление физических величин с помощью интегрирования

    Разложение функции в ряд Фурье, поиск коэффициентов. Изменение порядка интегрирования, его предел. Расчет площади фигуры, ограниченной графиками функций, с помощью двойного интеграла, объема тела, ограниченного поверхностями, с помощью тройного интеграла.

    контрольная работа , добавлен 28.03.2014

  • Производные и дифференциалы высших порядков

    Вычисление пределов функций. Нахождение производные заданных функций, решение неопределенных интегралов. Исследование функции и построение ее графика. Особенности вычисления площади фигуры, ограниченной линиями с использованием определенного интеграла.

    контрольная работа , добавлен 01.03.2011

  • Задача № 3. Сделайте чертеж и вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями

    Приложение интеграла к решению прикладных задач

    Вычисление площади

    Определённый интеграл непрерывной неотрицательной функции f(x) численно равенплощади криволинейной трапеции, ограниченной кривой y = f(x), осью Ох и прямыми х = а и х = b. В соответствии с этим формула площади записывается так:

    Рассмотрим некоторые примеры на вычисление площадей плоских фигур.

    Задача № 1.

    Вычисление площадей плоских фигур с помощью интеграла

    Вычислить площадь, ограниченную линиями y = x2 +1, y = 0, x = 0, x = 2.

    Решение. Построим фигуру, площадь которой мы должны будем вычислить.

    y = x2 + 1 – это парабола ветви которой направлены вверх, и парабола смещена относительно оси Oy вверх на одну единицу (рисунок 1).

    Рисунок 1. График функции y = x2 + 1

    Задача № 2. Вычислить площадь, ограниченную линиями y = x2 – 1, y = 0 в пределах от 0 до 1.

    Решение. Графиком данной функции является парабола ветви, которой направлены вверх, и парабола смещена относительно оси Oy вниз на одну единицу (рисунок 2).

    Рисунок 2. График функции y = x2 – 1

    Имеем:

    Задача № 3. Сделайте чертеж и вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями

    y = 8 + 2x – x2 и y = 2x – 4.

    Решение. Первая из двух данных линий – парабола, направленная ветвями вниз, поскольку коэффициент при x2 отрицательный, а вторая линия – прямая, пересекающая обе оси координат.

    Для построения параболы найдем координаты ее вершины: y’=2 – 2x; 2 – 2x = 0, x = 1 – абсцисса вершины; y(1) = 8 + 2&#8729;1 – 12 = 9 – ее ордината, N(1;9) – вершина.

    Теперь найдем точки пересечения параболы и прямой, решив систему уравнений:

    Приравнивая правые части уравнения, левые части которых равны.

    Получим 8 + 2x – x2 = 2x – 4 или x2 – 12 = 0, откуда .

    Итак, точки – точки пересечения параболы и прямой (рисунок 1).

    Рисунок 3 Графики функций y = 8 + 2x – x2 и y = 2x – 4

    Построим прямую y = 2x – 4. Она проходит через точки (0;-4),(2;0) на осях координат.

    Для построения параболы можно еще ее точки пересечения с осью 0x, то есть корни уравнения 8 + 2x – x2 = 0 или x2 – 2x – 8 = 0. По теореме Виета легко найти его корни: x1 = 2, x2 = 4.

    На рисунке 3 изображена фигура (параболический сегмент M1N M2), ограниченный данными линиями.

    Вторая часть задачи состоит в нахождении площади этой фигуры. Ее площадь можно найти с помощью определенного интеграла по формуле .

    Применительно к данному условию, получим интеграл:

    2 Вычисление объёма тела вращения

    Объём тела, полученного от вращения кривой y = f(x) вокруг оси Ох, вычисляется по формуле:

    При вращении вокруг оси Оy формула имеет вид:

    Задача №4. Определить объём тела, полученного от вращения криволинейной трапеции, ограниченной прямыми х = 0 х = 3 и кривой y = вокруг оси Ох.

    Решение. Построим рисунок (рисунок 4).

    Рисунок 4. График функции y =

    Искомый объём равен

    Задача №5. Вычислить объём тела, полученного от вращения криволинейной трапеции, ограниченной кривой y = x2 и прямыми y = 0 и y = 4 вокруг оси Oy.

    Решение. Имеем:

    Вопросы для повторения

    1 Что называется интегрированием функции?

    2 Основные свойства неопределённого интеграла.

    3 В чём состоит геометрический смысл неопределённого интеграла.

    4 Основные формулы интегрирования.

    5 Способ подставки и способ интегрирования по частям.

    6 Определённый интеграл.

    7 Свойства определённого интеграла

    8 Формула Ньютона – Лейбница.

    9 Геометрический смысл определённого интеграла.

    Дата добавления: 2017-12-05; просмотров: 2935;

    ВВЕРХ

    1. Площадь криволинейной трапеции в декартовой системе координат.
    2. Площадь криволинейного сектора, ограниченной линией, заданной в параметрической форме.
    3. Площадь криволинейного сектора в полярной системе координат.
    4. Длина дуги кривой, заданной в декартовой системе координат.
    5. Длина линии, заданной параметрически.
    6. Вопросы для самопроверки.

    Площадь криволинейной трапеции в декартовой системе координат.

        Пусть на плоскости Оху дана фигура, ограниченная отрезком оси Ох, прямыми х = а, х = b и графиком непрерывной и неотрицательной функции y = f ( x) на . Такую фигуру называют криволинейной трапецией и площадь её можно вычислить по формуле
    Доказательство. Разобьем отрезок на n частей точками а = х0 < x1 < x2 <&#133; < xi — 1< xi < &#133; < xn = b, выберем на каждом частичном отрезке , i = 1, 2. &#133; n, произвольно точку ξ i (xi — 1 ≤ ξ ixi) и рассмотрим ступенчатую фигуру. Ее площадь приближенно равна площади S криволинейной трапеции:

    где Δ xi = xixi — 1. Так как функция f (x) непрерывна , то предел полученной интегральной суммы существует при и площадь S криволинейной трапеции численно равна определенному интегралу от функции f (x) на :

       Пример 1. Найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции y = xα, α > 0 , прямой х = 1 и осью Ох.
       Решение. По формуле имеем

             Пусть на отрезке заданы две непрерывные функции y1 = f1(x) и y2 = f2(x), причем при всех значениях х из этого отрезка y1 ≤ y2. Найдем площадь фигуры, ограниченной графиками этих функций, а также прямыми х = а и х = b.
       Если обе функции неотрицательны, то площадь данной фигуры равна разности площадей криволинейных трапеций, ограниченных соответственно графиками функций y2 = f2(x), y1 = f1(x), прямыми х = а и х = b и осью абсцисс. Следовательно, площадь S данной фигуры можно найти так

       Пример 2. Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций y1 = f1(x) = x и y2 = f2(x) = 2 − x2. (смотри рисунок.)
       Решение. На рисунке видно, что пределами интегрирования являются абсциссы точек пересечения графиков данных функций. Для нахождения пределов интегрирования решим систему уравнений

    В результате получаем х1 = − 2, х2 =1 и находим искомую площадь

       Пример 3. Найти площадь, заключенную между параболой у = х2 − 2·х + 2, касательной к ней в точке (3; 5) и осью Оу.
        Решение. Уравнение касательной к кривой f(x) = x2 − 2· x +2 в точке (3; 5) имеет вид y − 5 = f ‘ (3)·(x − 3). Поскольку f ‘ (x) = 2·x − 2 и f ‘ (3) = 2·3 − 2 = 4, получаем уравнение касательной у − 5 = 4· (х − 3), или у = 4·х − 7. Так как ветви параболы направлены вверх, то парабола лежит над касательной, т.е. х2 − 2·х + 2 ≥ 4·х − 7  на отрезке (смотри рисунок.)
       Находим искомую площадь

    Площадь криволинейного сектора ограниченной линией, заданной в параметрической форме.

       Пусть линия задана в параметрической форме
    При изменении параметра tÎ радиус–вектор описывает криволинейный сектор. (смотри рисунок.)
       Разобьём интервал на бесконечно малые отрезки α < t1 < t2 < &#133; < tn — 1 < tn = β. Площадь криволинейного сектора приближённо равна сумме площадей треугольников:
    .
    При этом
    .
    Выполняя предельный переход и учитывая вид интегральной суммы, получим
    .
    Знак ± выбирается исходя из необходимости получить положительный результат.    Пример 4.Найти площадь фигуры, ограниченной одной аркой циклоиды x = a·(t − sint), y = a·(1 − cost), 0 ≤ t ≤ 2·π и осью Ох. (смотри рисунок.)
       Решение. По формуле имеем

    Таким образом S = 3·π·a2.

    Площадь криволинейного сектора в полярной системе координат

       Пусть кривая АВ задана в полярных координатах уравнением ρ = ρ (φ), α ≤ φ ≤ β причем функция ρ(φ) непрерывна и неотрицательна на отрезке .
       Плоскую фигуру, ограниченную кривой АВ и двумя полярными радиусами, составляющими с полярной осью углы α и β, будем называть криволинейным сектором. Площадь криволинейного сектора может быть вычислена по формуле
    Доказательство. Разобьем произвольно отрезок на n частей точками α = φ0 < φ1 < φ2 < &#133; < φi — 1 < φi < &#133; < φn = β Выберем на каждом частичном отрезке , i = 1, 2,&#133; , n, произвольно точку
    ξi ( φi−1 ≤ ξi ≤ φi )
    и построим круговые секторы с радиусами ρ (ξ i ). В результате получена веерообразная фигура, площадь которой будем считать приближенно равной площади криволинейного сектора:

    где Δ φ i = φ i − φ i — 1. (смотри рисунок.)
       Таким образом, получена интегральная сумма σ для интеграла. Так как функция ρ2 (φ) непрерывна на отрезке , то предел этой суммы существует при

    и площадь криволинейного сектора численно равна половине определенного интеграла от функции ρ2 (φ) на :

       Пример 5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной полярной осью и первым витком спирали Архимеда ρ = а·φ, где а – положительное число. (смотри рисунок.)
       Решение. При изменении φ от 0 до 2π полярный радиус опишет кривую, ограничивающую криволинейный сектор ОАВС. Поэтому имеем

    Заметим, что точка С отстоит от полюса на расстоянии ρ = 2·π·a. Поэтому круг радиуса ОС имеет площадь

    ,
    т.е. площадь фигуры, ограниченной полярной осью и первым витком спирали Архимеда, равна 1/3 площади круга с радиусом, равным наибольшему из полярных радиусов витка. К этому выводу пришел еще Архимед (смотри рисунок.).

    Длина дуги кривой, заданной в декартовой системе координат.

       Пусть плоская кривая АВ задана уравнением у = f ( x), axb, где f ( x) – непрерывная вместе со своей производной на отрезке функция. Разобьем кривую АВ на n произвольных частей точками А = М0, М1, М2, &#133; , Mi — 1, Mi, &#133;, Mn = B в направлении от А к В. Соединив эти точки хордами, получим некоторую вписанную ломанную линию, длину которой обозначим через Р. (смотри рисунок.)
       Обозначим через li длину одного звена Mi — 1Mi ломаной линии, а через μ — длину наибольшего из ее звеньев: .
       Определение. Число L называется пределом длин ломаных Р при μ → 0, если для любого как угодно малого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всякой ломаной, у которой μ < δ, выполняется неравенство | L − P | < ε.
       Если существует конечный предел L длин ломаных Р вписанных в кривую при μ → 0, то этот предел называется длиной дуги АВ:

    Если функция f ( x) непрерывна вместе с f ‘ (x) на отрезке , то длина дуги АВ выражается формулой

    Доказательство. Обозначим через xi и f ( xi) координаты точек Мi. Длина одного звена ломаной равна

    По формуле Лагранжа конечных приращений имеем
    ,
    Следовательно, , Δ xi = xi − xi − 1. Таким образом, длина ломаной равна
    .
    Так как функция непрерывна на , то предел суммы Р n при существует. Так как λ ≤ μ и λ → 0 при μ → 0, то
       Пример 6. Вычислить длину дуги полукубической параболы y = x3/2 от х = 0 до х = 5. (смотри рисунок.)
       Решение. Дифференцируя y = x3/2, находим . Следовательно, по выведенной формуле получим

    Длина линии, заданной параметрически.

       В случае, когда кривая АВ задана параметрически x = φ (t), y = ψ (t), α ≤ t ≤ β, где α и β — значения параметра t, соответствующие значениям х = а и х = b, т.е. а = φ (α), b = φ(β), в формуле
    надо сделать замену переменной, положив x = φ (t), dx = φ ‘ (tdt. Тогда получим

       Пример 7. Вычислить длину первого витка архимедовой спирали ρ = а·φ.
       Решение. Формулу, по которой можно вычислить длину линии в полярной системе координат, можно получить из предыдущей формулы, если положить, что x = ρ(t)·cos t, у = ρ(t)·sin t. Попробуйте вывести формулу самостоятельно. Первый виток архимедовой спирали образуется при изменении полярного угла φ от 0 до 2π. (смотри рисунок.)
       Искомая длина дуги равна (смотри возвратный интеграл)

    Вопросы для самопроверки

    1. Что называется криволинейной трапецией?
    2. В чем заключается геометрический смысл определенного интеграла?
    3. По каким формулам можно вычислить площадь фигур: а) в прямоугольных координатах; б) в полярных координатах; в) в случае параметрического задания границы?
    4. 4. Какое свойство определённого интеграла отражает аддитивное свойство площади?

      Вычисление площадей фигур, ограниченных заданными линиями

    5. Что называется длиной дуги кривой?
    6. По каким формулам вычисляется длина дуги кривой: а) в прямоугольных координатах; б) если линия задана параметрически; в) если линия задана в полярных координатах?
    7. Чему равен дифференциал дуги? В чем состоит геометрический смысл дифференциала дуги?

    Как найти площадь закрашенной фигуры в круге

    Алгебра. Глава 8. Системы уравнений. 8.4. Способ алгебраического сложения. Ученик: Можно решать системы уравнений какими-нибудь еще способами, кроме графического и способа подстановки? Учитель: Да, есть еще один способ — способ алгебраического сложения. Ученик: А что это за способ?

    Как найти площадь закрашенной фигуры в круге

    На сайте не работают какие-то кнопки?

    Определенный интеграл. Как вычислить площадь фигуры

    Отключите Адблок.

    Из школы 162 Кировского района Петербурга;

    Специально для наших читателей мы ежемесячно составляем варианты для самопроверки.

    По окончании работы система проверит ваши ответы, покажет правильные решения и выставит оценку по пятибалльной или стобалльной шкале.

    Если ваш школьный учитель составил работу и сообщил вам номер, введите его сюда.

    Треугольник прямоугольный, значит, радиус описанной вокруг него окружности равен половине гипотенузы.

    Площадь кольца равна разности площади большого и малого кругов. Радиус большого круга равен 2, а малого — 1, откуда

    В открытом банке это задание и аналогичные ему являются клонами к заданию 27562.

    На клетчатой бумаге нарисованы два круга. Площадь внутреннего круга равна 51. Найдите площадь заштрихованной фигуры.

    Площади кругов относятся как квадраты их радиусов. Поскольку радиус большего круга вдвое больше радиуса меньшего круга, площадь большего круга вчетверо больше площади меньшего. Следовательно, она равна 204. Площадь заштрихованной фигуры равна разности площадей кругов: 204 − 51 = 153.

    На клетчатой бумаге изображены два круга. Площадь внутреннего круга равна 1. Найдите площадь заштрихованной фигуры.

    Площади кругов относятся как квадраты их радиусов. Радиус внешнего круга равен 6, радиус внутреннего равен 3. Поскольку радиус большего круга вдвое больше радиуса наименьшего круга, площадь большего круга вчетверо больше площади меньшего. Следовательно, она равна 4. Площадь заштрихованной фигуры равна разности площадей кругов: 4 − 1 = 3.

    На клетчатой бумаге изображены два круга. Площадь внутреннего круга равна 9. Найдите площадь заштрихованной фигуры.

    Площади кругов относятся как квадраты их радиусов. Поскольку радиус большего круга равен четырем третьим радиуса меньшего круга, площадь большего круга составляет шестнадцать девятых площади меньшего. Следовательно, она равна 16. Площадь заштрихованной фигуры равна разности площадей кругов: 16 − 9 = 7.

    На клетчатой бумаге изображен круг площадью 48. Найдите площадь заштрихованного сектора.

    Площадь заштрихованного сектора равна половине площади всего круга. Следовательно, его площадь равна 0,5·48 = 24.

    На клетчатой бумаге изображён круг. Какова площадь круга, если площадь заштрихованного сектора равна 32?

    На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник. Найдите радиус описанной около него окружности.

    Изображенная на рисунке окружность вписана в квадрат со стороной 5, поэтому радиус этой окружности равен 2,5. Но причём тут вписанный треугольник?

    На клетчатой бумаге нарисованы два круга. Площадь внутреннего круга равна 34. Найдите площадь закрашенной фигуры.

    Площадь закрашенной фигуры равна разности площади внешнего круга и площади внутреннего и равна 136 − 34 = 102.

    Найдите величину угла ABC. Ответ дайте в градусах.

    Угол ABC опирается на четверть окружности, то есть на дугу 90°. Вписанный угол равен половине дуги, поэтому он равен 45°.

    Дуга AC равна половине дуги 90°, т. е. равна 45°.

    Дуга АС &#8212; это половина от четверти окружности

    Как найти площадь закрашенной фигуры в круге

    Как найти площадь закрашенной фигуры в круге

    На сайте не работают какие-то кнопки? Отключите Адблок.

    Из школы 162 Кировского района Петербурга;

    Специально для наших читателей мы ежемесячно составляем варианты для самопроверки.

    По окончании работы система проверит ваши ответы, покажет правильные решения и выставит оценку по пятибалльной или стобалльной шкале.

    Если ваш школьный учитель составил работу и сообщил вам номер, введите его сюда.

    Треугольник прямоугольный, значит, радиус описанной вокруг него окружности равен половине гипотенузы.

    Площадь кольца равна разности площади большого и малого кругов. Радиус большого круга равен 2, а малого — 1, откуда

    В открытом банке это задание и аналогичные ему являются клонами к заданию 27562.

    На клетчатой бумаге нарисованы два круга. Площадь внутреннего круга равна 51. Найдите площадь заштрихованной фигуры.

    Площади кругов относятся как квадраты их радиусов. Поскольку радиус большего круга вдвое больше радиуса меньшего круга, площадь большего круга вчетверо больше площади меньшего. Следовательно, она равна 204. Площадь заштрихованной фигуры равна разности площадей кругов: 204 − 51 = 153.

    На клетчатой бумаге изображены два круга. Площадь внутреннего круга равна 1. Найдите площадь заштрихованной фигуры.

    Площади кругов относятся как квадраты их радиусов. Радиус внешнего круга равен 6, радиус внутреннего равен 3. Поскольку радиус большего круга вдвое больше радиуса наименьшего круга, площадь большего круга вчетверо больше площади меньшего. Следовательно, она равна 4. Площадь заштрихованной фигуры равна разности площадей кругов: 4 − 1 = 3.

    На клетчатой бумаге изображены два круга. Площадь внутреннего круга равна 9. Найдите площадь заштрихованной фигуры.

    Площади кругов относятся как квадраты их радиусов. Поскольку радиус большего круга равен четырем третьим радиуса меньшего круга, площадь большего круга составляет шестнадцать девятых площади меньшего. Следовательно, она равна 16. Площадь заштрихованной фигуры равна разности площадей кругов: 16 − 9 = 7.

    На клетчатой бумаге изображен круг площадью 48. Найдите площадь заштрихованного сектора.

    Площадь заштрихованного сектора равна половине площади всего круга. Следовательно, его площадь равна 0,5·48 = 24.

    На клетчатой бумаге изображён круг. Какова площадь круга, если площадь заштрихованного сектора равна 32?

    На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник. Найдите радиус описанной около него окружности.

    Изображенная на рисунке окружность вписана в квадрат со стороной 5, поэтому радиус этой окружности равен 2,5. Но причём тут вписанный треугольник?

    На клетчатой бумаге нарисованы два круга. Площадь внутреннего круга равна 34. Найдите площадь закрашенной фигуры.

    Площадь закрашенной фигуры равна разности площади внешнего круга и площади внутреннего и равна 136 − 34 = 102.

    Найдите величину угла ABC. Ответ дайте в градусах.

    Угол ABC опирается на четверть окружности, то есть на дугу 90°. Вписанный угол равен половине дуги, поэтому он равен 45°.

    Дуга AC равна половине дуги 90°, т. е. равна 45°.

    Дуга АС &#8212; это половина от четверти окружности

    Как найти площадь закрашенной фигуры в круге

    На клетчатой бумаге нарисованы два круга

    Здравствуйте, друзья! В состав ЕГЭ по математике входят задачи связанные с нахождением площади круга или его частей (сектора, кольцевых элементов). Фигура задаётся на листе в клетку. В одних задачах масштаб клетки задаётся 1×1 сантиметр, в других он не оговаривается – даётся площадь элемента круга или самого круга.

    Задания неглубокие, необходимо помнить формулу площади круга, уметь визуально (по клеткам) определить радиус круга, какую долю от круга составляет выделенный сектор. Кстати, на блоге имеется статья о площади сектора. Её содержание к решению представленных ниже задач отношения не имеет, но для тех, кто хочет вспомнить формулу площади круга и площади сектора будет весьма полезна. Рассмотрим задачи (взяты из открытого банка заданий):

    Найдите (в см 2 ) площадь S фигуры, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см х 1 см. В ответе запишите S/л.

    Для того, чтобы площадь фигуры (кольца) необходимо из площади круга радиусом равным 2 вычесть площадь круга с радиусом 1. Формула площади круга:

    Разделим результат на число Пи и запишем ответ.

    На клетчатой бумаге нарисованы два круга. Площадь внутреннего круга равна 51. Найдите площадь заштрихованной фигуры.

    Площадь заштрихованной фигуры можно найти вычислив разность между площадью большего круга и площадью меньшего. Определим во сколько раз площадь большего отличается от площади меньшего. Пусть радиус меньшего равен R, тогда его площадь равна:

    Радиус большего круга в два раза больше (видно по клеткам). Значит, его площадь равна:

    Получили, что его площадь в 4 раза больше.

    Следовательно, она равна 51∙4 = 204 см 2

    Таким образом, площадь заштрихованной фигуры равна 204 – 51 = 153 см 2 .

    *Второй способ. Можно было вычислить радиус малого круга, затем определить радиус большего. Далее найти площадь большего и вычислить площадь искомой фигуры.

    На клетчатой бумаге нарисовано два круга. Площадь внутреннего круга равна 1. Найдите площадь заштрихованной фигуры.

    Данная задача по ходу решения практически не отличается от предыдущей, разница состоит лишь в том, что круги имеют разные центры.

    Несмотря на то, что видно, что радиус большего круга в 2 раза больше радиуса меньшего, советую вам обозначить размер клетки переменной х (икс).

    Так же, как и в предыдущей задаче, определим во сколько раз площадь большего отличается от площади меньшего. Выразим площадь меньшего круга, так как его радиус равен 3х:

    Выразим площадь большего круга, так как его радиус равен 6х:

    Как видно, площадь большего круга в 4 раза больше.

    Следовательно, она равна 1∙4 = 4 см 2

    Таким образом, площадь заштрихованной фигуры равна 4 – 1 = 3 см 2 .

    На клетчатой бумаге нарисовано два круга. Площадь внутреннего круга равна 9. Найдите площадь заштрихованной фигуры.

    Обозначим размер клетки переменной х (икс).

    Определим во сколько раз площадь большего круга отличается от площади меньшего. Выразим площадь меньшего круга. Так как его радиус равен 3 ∙ х, то

    Выразим площадь большего круга. Так как его радиус равен 4 ∙ х, то

    Разделим площадь большего на площадь меньшего:

    То есть, площадь большего круга в 16/9 раза больше площади меньшего, следовательно, она равна:

    Таким образом, площадь заштрихованной фигуры равна 16 – 9 = 7 см 2 .

    Вычислим радиус меньшего круга. Его площадь равна 9, значит,

    Найдём размер клетки и затем сможем определить радиус большего круга. Размер клетки равен:

    Так как радиус большего круга соответствует 4 клеткам, то его радиус будет равен:

    Определяем площадь большего круга:

    Находим разность: 16 – 9 = 7 см 2

    На клетчатой бумаге нарисован круг площадью 48. Найдите площадь заштрихованного сектора.

    В этой задаче очевидно, что заштрихованная часть составляет половину от площади всего круга, то есть равна 24.

    На клетчатой бумаге изображён круг. Какова площадь круга, если площадь заштрихованного сектора равна 32?

    По рисунку видно, что площадь сектора составляет треть от площади круга. Значит, площадь круга будет равна 32∙3 = 96.

    Найдите (в см 2 ) площадь S фигуры, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см х 1 см. В ответе запишите S/л.

    Найдите площадь S круга, считая стороны квадратных клеток равными 1. В ответе укажите S/л.

    В задачах связанных с площадью сектора круга необходимо уметь определять какую долю он составляет от площади круга. Это сделать не сложно, так как в подобных задачах центральный угол сектора кратен 30 либо 45.

    В задачах связанных с нахождением площадей кольцевых элементов есть разные пути для решения, оба показаны в решённых заданиях. Способ, в котором размер клетки обозначается через переменную х, и затем определяются радиусы более универсален.

    Но самое главное – не запоминать эти способы. Можно найти и третий и четвёртый путь решения. Главное – это знать формулу площади круга и уметь логически рассуждать.

    На этом всё. Успеха вам!

    С уважением, автор проекта Александр Крутицких.

    P. S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

    Школа репетиторов Анны Малковой!

    Онлайн-обучение, подготовка к ЕГЭ и ОГЭ по предметам!

    Все секреты здоровья позвоночника!

    Добавить комментарий Отменить ответ

      РУБРИКИ САЙТА ЗАДАЧИ ПО НОМЕРАМ КИМ

    Друзья! К вам человеческая просьба: скопировали материал &#8212; поставьте ссылку. Спасибо! Александр Крутицких.

    admin