Расстояние между точкой и прямой

Расстояние между точкой и прямой

Расстояние от точки до прямой в пространстве.

Расстояние от точки до прямой — равно длине перпендикуляра, опущенного из точки на прямую.

Если s={m;n;p}-направляющий вектор прямой l, M1(x1, y1, z1) — точка лежащей на прямой, тогда расстояние от точки M0(x0, y0, z0) до прямой l можно найти, используя формулу

Вывод формулы Если задано уравнение прямой l то несложно найти s= {m; n; p} — направляющий вектор прямой и M1(x1, y1, z1) — координаты точки лежащей на этой прямой.

Из свойств векторного произведения известно, что модуль векторного произведения векторов равен площади параллелограмма построенного на этих векторах

S = |M0M1×s|.

С другой стороны площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту проведенную к этой стороне

S = |s|d.

В нашем случае высота будет равна расстоянию от точки до плоскости

d, а сторона параллелограмма равна модулю направляющего вектора s.
Приравняв площади несложно получить формулу расстояния от точки до прямой.

26)

Прямая в пространстве

Прямая в пространстве может быть задана как линия пересечения двух плоскостей. Так как точка прямой прнадлежит каждой из плоскостей, то ее координаты обязаны удовлетворять уравнениям обеих плоскостей, то есть удовлетворять системе из двух уравнений.

Итак, если уравнения двух непараллельных плоскостей — и , то прямая, являющаяся их линией пересечения, задается системой уравнений

(11.11)

И наоборот, точки, удовлетворяющие такой системе уравнений, образуют прямую, являющуюся линией пересечения плоскостей, чьи уравнения образуют эту систему.

Уравнения (11.11) называют общими уравнениями прямой в пространстве.

27)

Общее уравнение плоскости в декартовой системе координат записывается следующим образом:

Если известно, что плоскость проходит через точку с координатами (x0, y0, z0), то ее уравнение можно привести к виду

a (xx0) + b (yy0) + c (zz0) = 0.

Уравнение

называется уравнением плоскости в отрезках на осях.

Нормаль к плоскости имеет координаты

Угол между двумя плоскостями легко вычисляется по формуле скалярного произведения. Если эти плоскости задаются уравнениями a1x + b1y + c1z + d1 = 0 и a2x + b2y + c2z + d2 = 0, то угол между плоскостями равняется

Расстояние от точки (x0; y0; z0) до плоскости, задаваемой уравнением ax + by + cz + d = 0, равно

28)

Угол между плоскостями

Пусть плоскости и заданы соответственно уравнениями и . Требуется найти угол между этими плоскостями.

Плоскости, пересекаясь, образуют четыре двугранных угла (рис. 11.6): два тупых и два острых или четыре прямых, причем оба тупых угла равны между собой, и оба острых тоже равны между собой. Мы всегда будем искать острый угол. Для определения его величины возьмем точку на линии пересечения плоскостей и в этой точке в каждой из плоскостей проведем перпендикуляры и к линии пересечения. Нарисуем также нормальные векторы и плоскостей и с началами в точке (рис.

Расстояние от точки до прямой в пространстве.

11.6).

Рис.11.6.Угол между плоскостями

Если через точку провести плоскость , перпендикулярную линии пересечения плоскостей и , то прямые и и изображения векторов и будут лежать в этой плоскости. Сделаем чертеж в плоскости (возможны два варианта: рис. 11.7 и 11.8).

Рис.11.7.Угол между нормальными векторами острый

Рис.11.8.Угол между нормальными векторами тупой

В одном варианте (рис. 11.7) и , следовательно, угол между нормальными векторами равен углу , являющемуся линейным углом острого двугранного угла между плоскостями и .

Во втором варианте (рис. 11.8) , а угол между нормальными векторами равен .

Так как

то в обоих случаях .

По определению скалярного произведения . Откуда

и соответственно

(11.4)

Так как координаты нормальных векторов известны, если заданы уравнения плоскостей, то полученная формула (11.4) позволяет найти косинус острого угла между плоскостями.

Если плоскости перпендикулярны, то перпендикулярны и их нормальные векторы.

Получаем условие перпендикулярности плоскостей:

(11.5)

Если плоскости параллельны, то коллинеарны их нормальные векторы. Получаем условие параллельности плоскостей

(11.6)

где — любое число.

29)

Угол между прямыми в пространстве

Углом между двумя пересекающимися прямыми в пространстве называется наименьший из углов, образованных лучами этих прямых с вершиной в точке их пересечения.

Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между пересекающимися прямыми, соответственно параллельными данным.

30)

Угол между прямой и плоскостью

Прямая a пересекает плоскость α. а не перпендикулярна плоскости. Основания перпендикуляров, опущенных из точек прямой a на плоскость α, лежат на прямой a`. Эта прямая называется проекцией прямой a на плоскость α.

Угол между прямой и проекцией этой прямой на плоскость называется углом между прямой и плоскостью.

31)



Расстояние от точки до прямой в пространстве.

Расстояние от точки до прямой — равно длине перпендикуляра, опущенного из точки на прямую.

Если s={m;n;p}-направляющий вектор прямой l, M1(x1, y1, z1) — точка лежащей на прямой, тогда расстояние от точки M0(x0, y0, z0) до прямой l можно найти, используя формулу

Вывод формулы Если задано уравнение прямой l то несложно найти s= {m; n; p} — направляющий вектор прямой и M1(x1, y1, z1) — координаты точки лежащей на этой прямой. Из свойств векторного произведения известно, что модуль векторного произведения векторов равен площади параллелограмма построенного на этих векторах

S = |M0M1×s|.

С другой стороны площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту проведенную к этой стороне

S = |s|d.

В нашем случае высота будет равна расстоянию от точки до плоскости

d, а сторона параллелограмма равна модулю направляющего вектора s.
Приравняв площади несложно получить формулу расстояния от точки до прямой.

26)

Прямая в пространстве

Прямая в пространстве может быть задана как линия пересечения двух плоскостей. Так как точка прямой прнадлежит каждой из плоскостей, то ее координаты обязаны удовлетворять уравнениям обеих плоскостей, то есть удовлетворять системе из двух уравнений.

Итак, если уравнения двух непараллельных плоскостей — и , то прямая, являющаяся их линией пересечения, задается системой уравнений

(11.11)

И наоборот, точки, удовлетворяющие такой системе уравнений, образуют прямую, являющуюся линией пересечения плоскостей, чьи уравнения образуют эту систему.

Уравнения (11.11) называют общими уравнениями прямой в пространстве.

27)

Общее уравнение плоскости в декартовой системе координат записывается следующим образом:

Если известно, что плоскость проходит через точку с координатами (x0, y0, z0), то ее уравнение можно привести к виду

a (xx0) + b (yy0) + c (zz0) = 0.

Уравнение

называется уравнением плоскости в отрезках на осях.

Нормаль к плоскости имеет координаты

Угол между двумя плоскостями легко вычисляется по формуле скалярного произведения. Если эти плоскости задаются уравнениями a1x + b1y + c1z + d1 = 0 и a2x + b2y + c2z + d2 = 0, то угол между плоскостями равняется

Расстояние от точки (x0; y0; z0) до плоскости, задаваемой уравнением ax + by + cz + d = 0, равно

28)

Угол между плоскостями

Пусть плоскости и заданы соответственно уравнениями и .

Расстояние от точки до прямой на плоскости

Требуется найти угол между этими плоскостями.

Плоскости, пересекаясь, образуют четыре двугранных угла (рис. 11.6): два тупых и два острых или четыре прямых, причем оба тупых угла равны между собой, и оба острых тоже равны между собой. Мы всегда будем искать острый угол. Для определения его величины возьмем точку на линии пересечения плоскостей и в этой точке в каждой из плоскостей проведем перпендикуляры и к линии пересечения. Нарисуем также нормальные векторы и плоскостей и с началами в точке (рис. 11.6).

Рис.11.6.Угол между плоскостями

Если через точку провести плоскость , перпендикулярную линии пересечения плоскостей и , то прямые и и изображения векторов и будут лежать в этой плоскости. Сделаем чертеж в плоскости (возможны два варианта: рис. 11.7 и 11.8).

Рис.11.7.Угол между нормальными векторами острый

Рис.11.8.Угол между нормальными векторами тупой

В одном варианте (рис. 11.7) и , следовательно, угол между нормальными векторами равен углу , являющемуся линейным углом острого двугранного угла между плоскостями и .

Во втором варианте (рис. 11.8) , а угол между нормальными векторами равен . Так как

то в обоих случаях .

По определению скалярного произведения . Откуда

и соответственно

(11.4)

Так как координаты нормальных векторов известны, если заданы уравнения плоскостей, то полученная формула (11.4) позволяет найти косинус острого угла между плоскостями.

Если плоскости перпендикулярны, то перпендикулярны и их нормальные векторы. Получаем условие перпендикулярности плоскостей:

(11.5)

Если плоскости параллельны, то коллинеарны их нормальные векторы. Получаем условие параллельности плоскостей

(11.6)

где — любое число.

29)

Угол между прямыми в пространстве

Углом между двумя пересекающимися прямыми в пространстве называется наименьший из углов, образованных лучами этих прямых с вершиной в точке их пересечения.

Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между пересекающимися прямыми, соответственно параллельными данным.

30)

Угол между прямой и плоскостью

Прямая a пересекает плоскость α. а не перпендикулярна плоскости. Основания перпендикуляров, опущенных из точек прямой a на плоскость α, лежат на прямой a`. Эта прямая называется проекцией прямой a на плоскость α.

Угол между прямой и проекцией этой прямой на плоскость называется углом между прямой и плоскостью.

31)



Расстояние от точки до прямой в пространстве.

Расстояние от точки до прямой — равно длине перпендикуляра, опущенного из точки на прямую.

Если s={m;n;p}-направляющий вектор прямой l, M1(x1, y1, z1) — точка лежащей на прямой, тогда расстояние от точки M0(x0, y0, z0) до прямой l можно найти, используя формулу

Вывод формулы Если задано уравнение прямой l то несложно найти s= {m; n; p} — направляющий вектор прямой и M1(x1, y1, z1) — координаты точки лежащей на этой прямой. Из свойств векторного произведения известно, что модуль векторного произведения векторов равен площади параллелограмма построенного на этих векторах

S = |M0M1×s|.

С другой стороны площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту проведенную к этой стороне

S = |s|d.

В нашем случае высота будет равна расстоянию от точки до плоскости

d, а сторона параллелограмма равна модулю направляющего вектора s.
Приравняв площади несложно получить формулу расстояния от точки до прямой.

26)

Прямая в пространстве

Прямая в пространстве может быть задана как линия пересечения двух плоскостей. Так как точка прямой прнадлежит каждой из плоскостей, то ее координаты обязаны удовлетворять уравнениям обеих плоскостей, то есть удовлетворять системе из двух уравнений.

Итак, если уравнения двух непараллельных плоскостей — и , то прямая, являющаяся их линией пересечения, задается системой уравнений

(11.11)

И наоборот, точки, удовлетворяющие такой системе уравнений, образуют прямую, являющуюся линией пересечения плоскостей, чьи уравнения образуют эту систему.

Уравнения (11.11) называют общими уравнениями прямой в пространстве.

27)

Общее уравнение плоскости в декартовой системе координат записывается следующим образом:

Если известно, что плоскость проходит через точку с координатами (x0, y0, z0), то ее уравнение можно привести к виду

a (xx0) + b (yy0) + c (zz0) = 0.

Уравнение

называется уравнением плоскости в отрезках на осях.

Нормаль к плоскости имеет координаты

Угол между двумя плоскостями легко вычисляется по формуле скалярного произведения. Если эти плоскости задаются уравнениями a1x + b1y + c1z + d1 = 0 и a2x + b2y + c2z + d2 = 0, то угол между плоскостями равняется

Расстояние от точки (x0; y0; z0) до плоскости, задаваемой уравнением ax + by + cz + d = 0, равно

28)

Угол между плоскостями

Пусть плоскости и заданы соответственно уравнениями и . Требуется найти угол между этими плоскостями.

Плоскости, пересекаясь, образуют четыре двугранных угла (рис. 11.6): два тупых и два острых или четыре прямых, причем оба тупых угла равны между собой, и оба острых тоже равны между собой. Мы всегда будем искать острый угол. Для определения его величины возьмем точку на линии пересечения плоскостей и в этой точке в каждой из плоскостей проведем перпендикуляры и к линии пересечения.

Расстояние от точки до прямой в пространстве.

Нарисуем также нормальные векторы и плоскостей и с началами в точке (рис. 11.6).

Рис.11.6.Угол между плоскостями

Если через точку провести плоскость , перпендикулярную линии пересечения плоскостей и , то прямые и и изображения векторов и будут лежать в этой плоскости. Сделаем чертеж в плоскости (возможны два варианта: рис. 11.7 и 11.8).

Рис.11.7.Угол между нормальными векторами острый

Рис.11.8.Угол между нормальными векторами тупой

В одном варианте (рис. 11.7) и , следовательно, угол между нормальными векторами равен углу , являющемуся линейным углом острого двугранного угла между плоскостями и .

Во втором варианте (рис. 11.8) , а угол между нормальными векторами равен . Так как

то в обоих случаях .

По определению скалярного произведения . Откуда

и соответственно

(11.4)

Так как координаты нормальных векторов известны, если заданы уравнения плоскостей, то полученная формула (11.4) позволяет найти косинус острого угла между плоскостями.

Если плоскости перпендикулярны, то перпендикулярны и их нормальные векторы. Получаем условие перпендикулярности плоскостей:

(11.5)

Если плоскости параллельны, то коллинеарны их нормальные векторы. Получаем условие параллельности плоскостей

(11.6)

где — любое число.

29)

Угол между прямыми в пространстве

Углом между двумя пересекающимися прямыми в пространстве называется наименьший из углов, образованных лучами этих прямых с вершиной в точке их пересечения.

Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между пересекающимися прямыми, соответственно параллельными данным.

30)

Угол между прямой и плоскостью

Прямая a пересекает плоскость α. а не перпендикулярна плоскости. Основания перпендикуляров, опущенных из точек прямой a на плоскость α, лежат на прямой a`. Эта прямая называется проекцией прямой a на плоскость α.

Угол между прямой и проекцией этой прямой на плоскость называется углом между прямой и плоскостью.

31)



Определение расстояния от точки до прямой

Расстояние от точки до прямой – это длина перпендикуляра, опущенного из точки на прямую. В начертательной геометрии она определяется графическим путем по приведенному ниже алгоритму.

Алгоритм

  1. Прямую переводят в положение, в котором она будет параллельна какой-либо плоскости проекции. Для этого применяют методы преобразования ортогональных проекций.
  2. Из точки проводят перпендикуляр к прямой. В основе данного построения лежит теорема о проецировании прямого угла.
  3. Длина перпендикуляра определяется путем преобразования его проекций или с использованием способа прямоугольного треугольника.

Пример

На следующем рисунке представлен комплексный чертеж точки M и прямой b, заданной отрезком CD. Требуется найти расстояние между ними.

Решение

Согласно нашему алгоритму, первое, что необходимо сделать, это перевести прямую в положение, параллельное плоскости проекции. При этом важно понимать, что после проведенных преобразований фактическое расстояние между точкой и прямой не должно измениться.

Расстояние от точки до прямой

Именно поэтому здесь удобно использовать метод замены плоскостей, который не предполагает перемещение фигур в пространстве.

Результаты первого этапа построений показаны ниже. На рисунке видно, как параллельно b введена дополнительная фронтальная плоскость П4. В новой системе (П1, П4) точки C»1, D»1, M»1 находятся на том же удалении от оси X1, что и C», D», M» от оси X.

Выполняя вторую часть алгоритма, из M»1 опускаем перпендикуляр M»1N»1 на прямую b»1, поскольку прямой угол MND между b и MN проецируется на плоскость П4 в натуральную величину. По линии связи определяем положение точки N’ и проводим проекцию M’N’ отрезка MN.

На заключительном этапе нужно определить величину отрезка MN по его проекциям M’N’ и M»1N»1. Для этого строим прямоугольный треугольник M»1N»1N0, у которого катет N»1N0 равен разности (YM1 – YN1) удаления точек M’ и N’ от оси X1. Длина гипотенузы M»1N0 треугольника M»1N»1N0 соответствует искомому расстоянию от M до b.

Второй способ решения

  • Параллельно CD вводим новую фронтальную плоскость П4. Она пересекает П1 по оси X1, причем X1∥C’D’. В соответствии с методом замены плоскостей определяем проекции точек C»1, D»1 и M»1, как это изображено на рисунке.
  • Перпендикулярно C»1D»1 строим дополнительную горизонтальную плоскость П5, на которую прямая b проецируется в точку C’2 = b’2.
  • Величина расстояния между точкой M и прямой b определяется длиной отрезка M’2C’2, обозначенного красным цветом.

Похожие задачи:

Определение расстояния от точки до прямой

Расстояние от точки до прямой – это длина перпендикуляра, опущенного из точки на прямую. В начертательной геометрии она определяется графическим путем по приведенному ниже алгоритму.

Алгоритм

  1. Прямую переводят в положение, в котором она будет параллельна какой-либо плоскости проекции. Для этого применяют методы преобразования ортогональных проекций.
  2. Из точки проводят перпендикуляр к прямой.

    Определение расстояния от точки до прямой

    В основе данного построения лежит теорема о проецировании прямого угла.

  3. Длина перпендикуляра определяется путем преобразования его проекций или с использованием способа прямоугольного треугольника.

Пример

На следующем рисунке представлен комплексный чертеж точки M и прямой b, заданной отрезком CD. Требуется найти расстояние между ними.

Решение

Согласно нашему алгоритму, первое, что необходимо сделать, это перевести прямую в положение, параллельное плоскости проекции. При этом важно понимать, что после проведенных преобразований фактическое расстояние между точкой и прямой не должно измениться. Именно поэтому здесь удобно использовать метод замены плоскостей, который не предполагает перемещение фигур в пространстве.

Результаты первого этапа построений показаны ниже. На рисунке видно, как параллельно b введена дополнительная фронтальная плоскость П4. В новой системе (П1, П4) точки C»1, D»1, M»1 находятся на том же удалении от оси X1, что и C», D», M» от оси X.

Выполняя вторую часть алгоритма, из M»1 опускаем перпендикуляр M»1N»1 на прямую b»1, поскольку прямой угол MND между b и MN проецируется на плоскость П4 в натуральную величину. По линии связи определяем положение точки N’ и проводим проекцию M’N’ отрезка MN.

На заключительном этапе нужно определить величину отрезка MN по его проекциям M’N’ и M»1N»1. Для этого строим прямоугольный треугольник M»1N»1N0, у которого катет N»1N0 равен разности (YM1 – YN1) удаления точек M’ и N’ от оси X1. Длина гипотенузы M»1N0 треугольника M»1N»1N0 соответствует искомому расстоянию от M до b.

Второй способ решения

  • Параллельно CD вводим новую фронтальную плоскость П4. Она пересекает П1 по оси X1, причем X1∥C’D’. В соответствии с методом замены плоскостей определяем проекции точек C»1, D»1 и M»1, как это изображено на рисунке.
  • Перпендикулярно C»1D»1 строим дополнительную горизонтальную плоскость П5, на которую прямая b проецируется в точку C’2 = b’2.
  • Величина расстояния между точкой M и прямой b определяется длиной отрезка M’2C’2, обозначенного красным цветом.

Похожие задачи:

Определение расстояния от точки до прямой

Расстояние от точки до прямой – это длина перпендикуляра, опущенного из точки на прямую. В начертательной геометрии она определяется графическим путем по приведенному ниже алгоритму.

Алгоритм

  1. Прямую переводят в положение, в котором она будет параллельна какой-либо плоскости проекции. Для этого применяют методы преобразования ортогональных проекций.
  2. Из точки проводят перпендикуляр к прямой. В основе данного построения лежит теорема о проецировании прямого угла.
  3. Длина перпендикуляра определяется путем преобразования его проекций или с использованием способа прямоугольного треугольника.

Пример

На следующем рисунке представлен комплексный чертеж точки M и прямой b, заданной отрезком CD. Требуется найти расстояние между ними.

Решение

Согласно нашему алгоритму, первое, что необходимо сделать, это перевести прямую в положение, параллельное плоскости проекции. При этом важно понимать, что после проведенных преобразований фактическое расстояние между точкой и прямой не должно измениться. Именно поэтому здесь удобно использовать метод замены плоскостей, который не предполагает перемещение фигур в пространстве.

Результаты первого этапа построений показаны ниже. На рисунке видно, как параллельно b введена дополнительная фронтальная плоскость П4. В новой системе (П1, П4) точки C»1, D»1, M»1 находятся на том же удалении от оси X1, что и C», D», M» от оси X.

Выполняя вторую часть алгоритма, из M»1 опускаем перпендикуляр M»1N»1 на прямую b»1, поскольку прямой угол MND между b и MN проецируется на плоскость П4 в натуральную величину.

Расстояние от точки до прямой в пространстве – теория, примеры, решения.

По линии связи определяем положение точки N’ и проводим проекцию M’N’ отрезка MN.

На заключительном этапе нужно определить величину отрезка MN по его проекциям M’N’ и M»1N»1. Для этого строим прямоугольный треугольник M»1N»1N0, у которого катет N»1N0 равен разности (YM1 – YN1) удаления точек M’ и N’ от оси X1. Длина гипотенузы M»1N0 треугольника M»1N»1N0 соответствует искомому расстоянию от M до b.

Второй способ решения

  • Параллельно CD вводим новую фронтальную плоскость П4. Она пересекает П1 по оси X1, причем X1∥C’D’. В соответствии с методом замены плоскостей определяем проекции точек C»1, D»1 и M»1, как это изображено на рисунке.
  • Перпендикулярно C»1D»1 строим дополнительную горизонтальную плоскость П5, на которую прямая b проецируется в точку C’2 = b’2.
  • Величина расстояния между точкой M и прямой b определяется длиной отрезка M’2C’2, обозначенного красным цветом.

Похожие задачи:

admin