Угол треугольника по двум сторонам

Угол треугольника по двум сторонам

Содержание

В геометрии часто бывают задачи, связанные со сторонами треугольников. Например, часто необходимо найти сторону треугольника, если две другие известны.

Треугольники бывают равнобедренными, равносторонними и неравносторонними. Из всего разнообразия, для первого примера выберем прямоугольный (в таком треугольнике один из углов равен 90°, прилегающие к нему стороны называются катетами, а третья — гипотенузой).

Быстрая навигация по статье

Длина сторон прямоугольного треугольника

Решение задачи следует из теоремы великого математика Пифагора. В ней говорится, что сумма квадратов катетов прямоугольного треугольника равна квадрату его гипотенузы: a²+b²=c²

  • Находим квадрат длины катета a;
  • Находим квадрат катета b;
  • Складываем их между собой;
  • Из полученного результата извлекаем корень второй степени. 

Пример: a=4, b=3, c=?

Находим сторону треугольника, если две другие известны тремя способами, формулы

  • a²=4²=16;
  • b² =3²=9;
  • 16+9=25;
  • √25=5. То есть, длина гипотенузы данного треугольника равна 5. 

Если же у треугольника нет прямого угла, то длин двух сторон недостаточно. Для этого необходим третий параметр: это может быть угол, высота площадь треугольника, радиус вписанной в него окружности и т.д..

Если известен периметр

В этом случае задача ещё проще. Периметр (P) представляет собой сумму всех сторон треугольника: P=a+b+c. Таким образом, решив простое математическое уравнение получаем результат.

Пример: P=18, a=7, b=6, c=?

1) Решаем уравнение, перенося все известные параметры в одну сторону от знака равенства:

P=a+b+c

c=P-a-b

2) Подставляем вместо них значения и вычисляем третью сторону:

c=18-7-6=5, итого: третья сторона треугольника равна 5.

Если известен угол

Для вычисления третьей стороны треугольника по углу и двум другим сторонам, решение сводится к вычислению тригонометрического уравнения. Зная взаимосвязь сторон треугольника и синуса угла, несложно вычислить третью сторону. Для этого нужно возвести обе стороны в квадрат и сложить их результаты вместе. Затем вычесть из получившегося произведение сторон, умноженное на косинус угла: C=√(a²+b²-a*b*cosα)

Если известна площадь

В этом случае одной формулой не обойтись.

1) Сначала вычисляем sin γ, выразив его из формулы площади треугольника:

S=a*b* sin γ/2

sin γ= 2S/(a*b)

2) По следующей формуле вычисляем косинус того же угла:

sin² α + cos² α=1

cos α=√(1 — sin² α)=√(1- (2S/(a*b))²)

3) И снова воспользуемся теоремой синусов:

C=√((a²+b²)-a*b*cosα)

C=√((a²+b²)-a*b*√(1- (S/(a*b))²))

Подставив в это уравнение значения переменных, получим ответ задачи.

Поделитесь этой статьёй с друзьями в соц. сетях:


В геометрии часто бывают задачи, связанные со сторонами треугольников. Например, часто необходимо найти сторону треугольника, если две другие известны.

Треугольники бывают равнобедренными, равносторонними и неравносторонними. Из всего разнообразия, для первого примера выберем прямоугольный (в таком треугольнике один из углов равен 90°, прилегающие к нему стороны называются катетами, а третья — гипотенузой).

Быстрая навигация по статье

Длина сторон прямоугольного треугольника

Решение задачи следует из теоремы великого математика Пифагора. В ней говорится, что сумма квадратов катетов прямоугольного треугольника равна квадрату его гипотенузы: a²+b²=c²

  • Находим квадрат длины катета a;
  • Находим квадрат катета b;
  • Складываем их между собой;
  • Из полученного результата извлекаем корень второй степени. 

Пример: a=4, b=3, c=?

  • a²=4²=16;
  • b² =3²=9;
  • 16+9=25;
  • √25=5. То есть, длина гипотенузы данного треугольника равна 5. 

Если же у треугольника нет прямого угла, то длин двух сторон недостаточно. Для этого необходим третий параметр: это может быть угол, высота площадь треугольника, радиус вписанной в него окружности и т.д..

Если известен периметр

В этом случае задача ещё проще. Периметр (P) представляет собой сумму всех сторон треугольника: P=a+b+c. Таким образом, решив простое математическое уравнение получаем результат.

Пример: P=18, a=7, b=6, c=?

1) Решаем уравнение, перенося все известные параметры в одну сторону от знака равенства:

P=a+b+c

c=P-a-b

2) Подставляем вместо них значения и вычисляем третью сторону:

c=18-7-6=5, итого: третья сторона треугольника равна 5.

Если известен угол

Для вычисления третьей стороны треугольника по углу и двум другим сторонам, решение сводится к вычислению тригонометрического уравнения.

По сторонам треугольника найти его углы

Зная взаимосвязь сторон треугольника и синуса угла, несложно вычислить третью сторону. Для этого нужно возвести обе стороны в квадрат и сложить их результаты вместе. Затем вычесть из получившегося произведение сторон, умноженное на косинус угла: C=√(a²+b²-a*b*cosα)

Если известна площадь

В этом случае одной формулой не обойтись.

1) Сначала вычисляем sin γ, выразив его из формулы площади треугольника:

S=a*b* sin γ/2

sin γ= 2S/(a*b)

2) По следующей формуле вычисляем косинус того же угла:

sin² α + cos² α=1

cos α=√(1 — sin² α)=√(1- (2S/(a*b))²)

3) И снова воспользуемся теоремой синусов:

C=√((a²+b²)-a*b*cosα)

C=√((a²+b²)-a*b*√(1- (S/(a*b))²))

Подставив в это уравнение значения переменных, получим ответ задачи.

Поделитесь этой статьёй с друзьями в соц. сетях:


В геометрии часто бывают задачи, связанные со сторонами треугольников.

Совет 1: Как по сторонам треугольника узнать угол

Например, часто необходимо найти сторону треугольника, если две другие известны.

Треугольники бывают равнобедренными, равносторонними и неравносторонними. Из всего разнообразия, для первого примера выберем прямоугольный (в таком треугольнике один из углов равен 90°, прилегающие к нему стороны называются катетами, а третья — гипотенузой).

Быстрая навигация по статье

Длина сторон прямоугольного треугольника

Решение задачи следует из теоремы великого математика Пифагора. В ней говорится, что сумма квадратов катетов прямоугольного треугольника равна квадрату его гипотенузы: a²+b²=c²

  • Находим квадрат длины катета a;
  • Находим квадрат катета b;
  • Складываем их между собой;
  • Из полученного результата извлекаем корень второй степени. 

Пример: a=4, b=3, c=?

  • a²=4²=16;
  • b² =3²=9;
  • 16+9=25;
  • √25=5. То есть, длина гипотенузы данного треугольника равна 5. 

Если же у треугольника нет прямого угла, то длин двух сторон недостаточно. Для этого необходим третий параметр: это может быть угол, высота площадь треугольника, радиус вписанной в него окружности и т.д..

Если известен периметр

В этом случае задача ещё проще. Периметр (P) представляет собой сумму всех сторон треугольника: P=a+b+c. Таким образом, решив простое математическое уравнение получаем результат.

Пример: P=18, a=7, b=6, c=?

1) Решаем уравнение, перенося все известные параметры в одну сторону от знака равенства:

P=a+b+c

c=P-a-b

2) Подставляем вместо них значения и вычисляем третью сторону:

c=18-7-6=5, итого: третья сторона треугольника равна 5.

Если известен угол

Для вычисления третьей стороны треугольника по углу и двум другим сторонам, решение сводится к вычислению тригонометрического уравнения. Зная взаимосвязь сторон треугольника и синуса угла, несложно вычислить третью сторону. Для этого нужно возвести обе стороны в квадрат и сложить их результаты вместе. Затем вычесть из получившегося произведение сторон, умноженное на косинус угла: C=√(a²+b²-a*b*cosα)

Если известна площадь

В этом случае одной формулой не обойтись.

1) Сначала вычисляем sin γ, выразив его из формулы площади треугольника:

S=a*b* sin γ/2

sin γ= 2S/(a*b)

2) По следующей формуле вычисляем косинус того же угла:

sin² α + cos² α=1

cos α=√(1 — sin² α)=√(1- (2S/(a*b))²)

3) И снова воспользуемся теоремой синусов:

C=√((a²+b²)-a*b*cosα)

C=√((a²+b²)-a*b*√(1- (S/(a*b))²))

Подставив в это уравнение значения переменных, получим ответ задачи.

Поделитесь этой статьёй с друзьями в соц. сетях:


Нахождение углов треугольника по заданным сторонам

Есть три варианта решения этой задачи. Первый — если в условиях задачи дано, что катеты равны (по сути, мы имеем прямоугольный равнобедренный треугольник). Второй — если еще дан какой-то угол (кроме угла в 45%, тогда мы имеем тот же равнобедренный треугольник и возвращаемся к первому варианту). И третий — когда известен один из катетов. Рассмотрим данные варианты подробнее.

Как найти равные катеты, при известной гипотенузе

Дано:

  • гипотенуза (обозначим ее буквой "c") равна х см: c=x;
  • первый катет (обозначим его буквой "a") равен второму катету ((обозначим его буквой "b"): a=b;

Найти:

Решение:

В этом варианте решение задачи основывается на использовании теоремы Пифагора. Ее применяют к прямоугольным треугольникам и основной ее вариант звучит, как: "Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов". Так, как катеты у нас равны, то мы можем обозначать оба катета одним и тем же сиволом: a=b, значит — a=a.

  1. Подставляем наши условные обозначения в теорему (с учетом вышеизложенного):
     c^2=a^2+a^2,
  2. Далее максимально упрощаем формулу:
    с^2=2*(a^2) — группируем,
    с=√2*а — подносим обе части уравнения к квадратному кореню,
    a=c/√2 — выносим искомое.
  3. Подставлем данное значение гипотенузы и получаем решение:
     a=x/√2

Как найти катеты, при известной гипотенузе и угле

Дано:

  • гипотенуза (обозначим ее буквой "c") равна х см: c=x;
  • угол β равный q: β=q;

Найти:

Решение:

Для решения этой задачи необходимо использовать тригонометрические функции. Найболее популярны две из них:

  • функция синуса — синус искомого угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе;
  • функция косинуса — косинус искомого угла равен отношению прилежащего катета к гипотенузе;

Вы можете использовать любую. Я наведу пример с использованием первой. Пусть катеты у нас обозначаються символами "a" (прилежащий к углу) и "b" (противолежащий к углу). Соответственно наш угол лежит между катетом "a" и гипотенузой.

  1. Подставляем выбранные условные обозначения в формулу:
    sinβ = b/c
  2. Выводим катет:
    b=c*sinβ
  3. Подставляем наши данный и имеем один катет.
    b=c*sinq

Второй катет можно найти воспользовавшись второй тригонометрической функцией, или же перейти к третьему варианту.

Как найти один катет, если известна гипотенуза и другой катет

Дано:

  • гипотенуза (обозначим ее буквой "c") равна х см: c=x;
  • катет (обозначим его буквой "b") равен y см: b=y;

Найти:

  • размер другого катета (обозначим его буквой "a");

Решение:

В этом варианте решением задачи, как и в первом, является использование теоремы Пифагора.

  1. Подставляем наши условные обозначения в теорему:
    c^2=a^2+b^2,
  2. Выносим необходимый катет:
    a^2=c^2-b^2
  3. Подносим обе части уравнения к квадратному кореню:
    a=√(c^2-b^2)
  4. Подставляем данные значения и имеем решение:
    a=√(x^2-y^2)

Читайте также:

В геометрии часто бывают задачи, связанные со сторонами треугольников. Например, часто необходимо найти сторону треугольника, если две другие известны.

Треугольники бывают равнобедренными, равносторонними и неравносторонними. Из всего разнообразия, для первого примера выберем прямоугольный (в таком треугольнике один из углов равен 90°, прилегающие к нему стороны называются катетами, а третья — гипотенузой).

Быстрая навигация по статье

Длина сторон прямоугольного треугольника

Решение задачи следует из теоремы великого математика Пифагора. В ней говорится, что сумма квадратов катетов прямоугольного треугольника равна квадрату его гипотенузы: a²+b²=c²

  • Находим квадрат длины катета a;
  • Находим квадрат катета b;
  • Складываем их между собой;
  • Из полученного результата извлекаем корень второй степени. 

Пример: a=4, b=3, c=?

  • a²=4²=16;
  • b² =3²=9;
  • 16+9=25;
  • √25=5.

    Решение треугольников

    То есть, длина гипотенузы данного треугольника равна 5. 

Если же у треугольника нет прямого угла, то длин двух сторон недостаточно. Для этого необходим третий параметр: это может быть угол, высота площадь треугольника, радиус вписанной в него окружности и т.д..

Если известен периметр

В этом случае задача ещё проще. Периметр (P) представляет собой сумму всех сторон треугольника: P=a+b+c. Таким образом, решив простое математическое уравнение получаем результат.

Пример: P=18, a=7, b=6, c=?

1) Решаем уравнение, перенося все известные параметры в одну сторону от знака равенства:

P=a+b+c

c=P-a-b

2) Подставляем вместо них значения и вычисляем третью сторону:

c=18-7-6=5, итого: третья сторона треугольника равна 5.

Если известен угол

Для вычисления третьей стороны треугольника по углу и двум другим сторонам, решение сводится к вычислению тригонометрического уравнения. Зная взаимосвязь сторон треугольника и синуса угла, несложно вычислить третью сторону. Для этого нужно возвести обе стороны в квадрат и сложить их результаты вместе. Затем вычесть из получившегося произведение сторон, умноженное на косинус угла: C=√(a²+b²-a*b*cosα)

Если известна площадь

В этом случае одной формулой не обойтись.

1) Сначала вычисляем sin γ, выразив его из формулы площади треугольника:

S=a*b* sin γ/2

sin γ= 2S/(a*b)

2) По следующей формуле вычисляем косинус того же угла:

sin² α + cos² α=1

cos α=√(1 — sin² α)=√(1- (2S/(a*b))²)

3) И снова воспользуемся теоремой синусов:

C=√((a²+b²)-a*b*cosα)

C=√((a²+b²)-a*b*√(1- (S/(a*b))²))

Подставив в это уравнение значения переменных, получим ответ задачи.

Поделитесь этой статьёй с друзьями в соц. сетях:


В общем случае знания длины одной стороны и одного угла треугольника недостаточно для определения длины другой стороны. Этих данных может быть достаточно для определения сторон прямоугольного треугольника, а также равнобедренного треугольника. В общем же случае необходимо знать еще один параметр треугольника.

Вам понадобится

  • Стороны треугольника, углы треугольника

Инструкция

Для начала можно рассмотреть частные случаи и начать со случая прямоугольного треугольника. Если известно, что треугольник прямоугольный и известен один из его острых углов, то по длине одной из сторон можно найти и лругие стороны треугольника.Для нахождения длины других сторон необходимо знать, какая сторона треугольника задана — гипотенуза или какой-то из катетов. Гипотенуза лежит против прямого угла, катеты образуют прямой угол.Рассмотрите прямоугольный треугольник ABC с прямым углом ABC.

Решение треугольника по двум сторонам и углу не между ними

Пусть задана его гипотенуза AC и, например, острый угол BAC. Тогда катеты треугольника будут равны: AB = AC*cos(BAC) (прилежащий катет к углу BAC), BC = AC*sin(BAC) (катет, противолежащий углу BAC).

Пусть теперь задан тот же угол BAC и, например, катет AB. Тогда гипотенуза AC этого прямоугольного треугольника равна: AC = AB/cos(BAC) (соответственно, AC = BC/sin(BAC)). Другой катет BC находится по формуле BC = AB*tg(BAC).

Другой частный случай — если треугольник ABC равнобедренный (AB = AC). Пусть задано основание BC. Если задан угол BAC, то боковые стороны AB и AC можно найти по формуле: AB = AC = (BC/2)/sin(BAC/2).Если задан угол при основании ABC или ACB, то AB = AC = (BC/2)/cos(ABC).

Пусть задана одна из боковых сторон AB или AC. Если известен угол BAC, то BC = 2*AB*sin(BAC/2). Если известен угол ABC или угол ACB при основании, то BC = 2*AB*cos(ABC).

Теперь можно рассмотреть общий случай треугольника, когда длины одной стороны и одного угла недостаточно для нахождения длины другой стороны.Пусть в треугольнике ABC задана сторона AB и один из прилежащих к ней углов, например, угол ABC. Тогда, зная еще сторону BC, по теореме косинусов можно найти сторону AC. Она будет равна: AC = sqrt((AB^2)+(BC^2)-2*AB*BC*cos(ABC))

Пусть теперь известна сторона AB и противолежащий ей угол ACB. Пусть также известен, например, угол ABC. По теореме синусов AB/sin(ACB) = AC/sin(ABC). Следовательно, AC = AB*sin(ABC)/sin(ACB).

admin