Условие перпендикулярности двух векторов

Условие перпендикулярности двух векторов

Условие перпендикулярности векторов

Векторы на плоскости

1. Координаты вектора

Чтобы найти координаты вектора, нужно из координат

конца вычесть соответственные координаты начала.

Абсолютная величина вектора (модуль вектора, длина вектора)

Длина вектора равна корню квадратному из суммы квадратов его координат.

Равные вектора

Векторы равны, если равны их соответственные координаты, и наоборот.

Одинаково направленные (сонаправленные) и противоположно направленные векторы

Коллинеарные векторы

а) определение

Векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

б) Условие коллинеарности векторов

Если два вектора коллинеарны, то их соответственные координаты пропорциональны и наоборот.

Действия с векторами

1.Сложение векторов

Чтобы сложить два вектора, нужно сложить их соответственные координаты.

2. Правила сложения векторов

а) Правило треугольника

Чтобы сложить векторы по правилу треугольника, нужно отложить их последовательно друг за другом. Вектор, равный их сумме, направлен от начала первого к концу второго.

б) Правило параллелограмма

Чтобы сложить векторы по правилу параллелограмма, нужно отложить их из общего начала, достроить параллелограмм на этих векторах как на сторонах. Их суммой является вектор, выходящий из общего начала и являющийся диагональю параллелограмма.

в) Правило многоугольника

Чтобы сложить векторы по правилу многоугольника, нужно отложить их последовательно друг за другом. Их суммой является вектор, выходящий из начала первого к концу второго.

3. Вычитание векторов

Чтобы вычесть векторы, нужно вычесть их соответственные координаты.

4. Правило вычитания векторов

 
 

Чтобы вычесть векторы, нужно отложить их из общего начала и соединить их концы.

КРИТЕРИИ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ДВУХ ВЕКТОРОВ

Направить вектор к уменьшаемому.

5. Умножение вектора на число

Чтобы умножить число на вектор, нужно умножить каждую координату вектора на это число.

1.

2.

 
 

Скалярное произведение векторов

а) Определение скалярного произведения

Скалярным произведением называется число, равное сумме произведений соответственных координат.

б) Теорема о скалярном произведении

Скалярное произведение двух векторов равно произведению их абсолютных величин на косинус угла между ними.

Условие перпендикулярности векторов

Два вектора перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю, и наоборот.

Скалярный квадрат

Скалярный квадрат вектора равен квадрату модуля этого вектора.

9. Свойство вектора

Проекция вектора

Алгебраическая проекция вектора на какую-либо ось равна произведению длины вектора на косинус угла между осью и вектором: Прab = |b|cos(a,b) или где a•b — скалярное произведение векторов, — модуль вектора .

Инструкция. Для нахождения проекции вектора в онлайн режиме необходимо указать координаты векторов и . При этом вектор может быть задан на плоскости (две координаты) и в пространстве (три координаты). Полученное решение сохраняется в файле Word. Если векторы заданы через координаты точек, то необходимо использовать этот калькулятор.

Классификация проекций вектора

Виды проекций по определению проекция вектора

  1. Геометрическая проекция вектора на ось (вектор) называется вектор , начало которого A’ есть проекция начала A на ось (вектор), а конец B’ – проекция конца B на ту же ось.
  2. Алгебраическая проекция вектора на ось (вектор) называется длина вектора , взятая со знаком + или -, в зависимости от того, имеет ли вектор то же направление, что и ось (вектор).

Виды проекций по системе координат

  1. проекции на плоскости (система координат OX,OY). Пример:
  2. проекции в пространстве (система координат OX,OY, OZ). Пример:
  3. проекции в N-мерном пространстве

Свойства проекции вектора

  1. Геометрическая проекция вектора есть вектор (имеет направление).
  2. Алгебраическая проекция вектора есть число.

Теоремы о проекциях вектора

Теорема 1. Проекция суммы векторов на какую-либо ось равна проекции слагаемых векторов на ту же ось.
Теорема 2. Алгебраическая проекция вектора на какую-либо ось равна произведению длины вектора на косинус угла между осью и вектором:

Прab = |b|cos(a,b)

Виды проекций вектора

  1. проекция на ось OX.
  2. проекция на ось OY.
  3. проекция на вектор.
Проекция на ось OX Проекция на ось OY Проекция на вектор
Если направление вектора A’B’ совпадает с направлением оси OX, то проекция вектора A’B’ имеет положительный знак.
Если направление вектора A’B’ совпадает с направлением оси OY, то проекция вектора A’B’ имеет положительный знак.
Если направление вектора A’B’ совпадает с направлением вектора NM, то проекция вектора A’B’ имеет положительный знак.
Если направление вектора противоположно с направлением оси OX, то проекция вектора A’B’ имеет отрицательный знак.
Если направление вектора A’B’ противоположно с направлением оси OY, то проекция вектора A’B’ имеет отрицательный знак.
Если направление вектора A’B’ противоположно с направлением вектора NM, то проекция вектора A’B’ имеет отрицательный знак.
Если вектор AB параллелен оси OX, то проекция вектора A’B’ равна модулю вектора AB.

Если вектор AB параллелен оси OY, то проекция вектора A’B’ равна модулю вектора AB.

Если вектор AB параллелен вектору NM, то проекция вектора A’B’ равна модулю вектора AB.

Если вектор AB перпендикулярен оси OX, то проекция A’B’ равна нулю (нуль-вектор).

Если вектор AB перпендикулярен оси OY, то проекция A’B’ равна нулю (нуль-вектор).

Если вектор AB перпендикулярен вектору NM, то проекция A’B’ равна нулю (нуль-вектор).

1. Вопрос: Может ли проекция вектора иметь отрицательный знак. Ответ: Да, проекций вектора может быть отрицательной величиной. В этом случае, вектор имеет противоположное направление (см. как направлены ось OX и вектор AB)
2. Вопрос: Может ли проекция вектора совпадать с модулем вектора. Ответ: Да, может. В этом случае, векторы параллельны (или лежат на одной прямой).
3. Вопрос: Может ли проекция вектора быть равна нулю (нуль-вектор). Ответ: Да, может. В этом случае вектор перпендикулярен соответствующей оси (вектору).

Пример 1. Вектор (рис. 1) образует с осью OX (она задана вектором a) угол 60о. Если OE есть единица масштаба, то |b|=4, так что .

Действительно, длина вектора (геометрической проекции b) равна 2, а направление совпадает с направлением оси OX.

Пример 2. Вектор (рис. 2) образует с осью OX (с вектором a) угол (a,b) = 120o. Длина |b| вектора b равна 4, поэтому прab=4·cos120o = -2.

Действительно, длина вектора равна 2, а направление противоположно направлению оси.

Пример 3. Пусть вектор b задан через координаты точек M(1;1), N(4;5).

Координаты вектора: MN(4-1;5-1) = MN(3;4)
Тогда модуль вектора MN равен:

Направляющий вектор для оси OX равен вектору M’N’, где координаты точек M’(1;0) N’(4;0). Следовательно, вектор M’N’ имеет координаты: x = 4-1, y = 0-0 = 0.
M’N’(3;0)

Пример 4. Найти проекцию вектора c на вектор d;
с = АС = (-2;-1;3), d = CB(-5;-3;3)

Найдем проекцию вектора AC на вектор BC

Пример 5.

Перпендикулярность векторов

Найти проекцию прb(-2a+4b)
где a=2m+3n и b=4m-n, |m|=k, |n|=l, угол между ∠(m,n)= π
Тогда -2a+4b = -4m+6n + 16m-4n = 12m+2n

Найдем модуль вектора 4m-n.
а) Рассмотрим треугольник со сторонами a,b,c. По теореме косинусов:
a2 = b2 + c2 – 2bc∙cos(b,c), откуда

или

б) Рассмотрим второй вариант решения.
Поскольку угол между векторами π, т.е. 180о, то векторы лежат на одной оси.

Таким образом, 4m-n = 4*1 – 1 = 3.
Находим проекцию.
прb(-2a+4b) = прb(12m+2n) =

Условие перпендикулярности векторов

Векторы на плоскости

1. Координаты вектора

Чтобы найти координаты вектора, нужно из координат

конца вычесть соответственные координаты начала.

Абсолютная величина вектора (модуль вектора, длина вектора)

Длина вектора равна корню квадратному из суммы квадратов его координат.

Равные вектора

Векторы равны, если равны их соответственные координаты, и наоборот.

Одинаково направленные (сонаправленные) и противоположно направленные векторы

Коллинеарные векторы

а) определение

Векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

б) Условие коллинеарности векторов

Если два вектора коллинеарны, то их соответственные координаты пропорциональны и наоборот.

Действия с векторами

1.Сложение векторов

Чтобы сложить два вектора, нужно сложить их соответственные координаты.

2. Правила сложения векторов

а) Правило треугольника

Чтобы сложить векторы по правилу треугольника, нужно отложить их последовательно друг за другом. Вектор, равный их сумме, направлен от начала первого к концу второго.

б) Правило параллелограмма

Чтобы сложить векторы по правилу параллелограмма, нужно отложить их из общего начала, достроить параллелограмм на этих векторах как на сторонах. Их суммой является вектор, выходящий из общего начала и являющийся диагональю параллелограмма.

в) Правило многоугольника

Чтобы сложить векторы по правилу многоугольника, нужно отложить их последовательно друг за другом. Их суммой является вектор, выходящий из начала первого к концу второго.

3.

Ортогональность векторов. Перпендикулярность векторов.

Вычитание векторов

Чтобы вычесть векторы, нужно вычесть их соответственные координаты.

4. Правило вычитания векторов

 
 

Чтобы вычесть векторы, нужно отложить их из общего начала и соединить их концы. Направить вектор к уменьшаемому.

5. Умножение вектора на число

Чтобы умножить число на вектор, нужно умножить каждую координату вектора на это число.

1.

2.

 
 

Скалярное произведение векторов

а) Определение скалярного произведения

Скалярным произведением называется число, равное сумме произведений соответственных координат.

б) Теорема о скалярном произведении

Скалярное произведение двух векторов равно произведению их абсолютных величин на косинус угла между ними.

Условие перпендикулярности векторов

Два вектора перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю, и наоборот.

Скалярный квадрат

Скалярный квадрат вектора равен квадрату модуля этого вектора.

9. Свойство вектора

admin